线性代数是用来干嘛的，这个问题大部分国内线性代数的课本都没有讲明白。
要讲清楚这个问题，需要用公理化的数学思想。线性代数是用来刻画线性空间的。线性空间的理论为什么重要，因为线性空间有一个特别优良的结构，就是线性空间中的任意元素，都可以用其基进行线性表达。这个性质非常重要，这意味着，我们只要找到线性空间的基就可以表达线性空间所有的元素，同时，物理一点的说，就是线性空间的任意元素都可以分解为其基的线性组合。这样我们很容易想到，三维线性空间的任意矢量都可以表示为 a=xi+yj+zk，同时我们也容易想到无穷级数，比如说幂级数和傅立叶级数对不对？物理一点，我们可以想到波对不对？两个波的叠加还是波，然后对波我们也可以对其进行傅立叶分析对不对？因此，线性空间这个优良的性质可以用抽象的形式表达广泛的数学和物理学概念。我们把满足线性组合的这个性质抽象成 8 个公理，就能给出线性空间的概念，有了线性空间的概念，那么我们就会发现，线性方程组的解空间是线性空间，欧几里得空间是线性空间，更进一步幂级数和傅立叶级数组成的空间也是线性空间。同样物理上的波组成的空间也是线性空间。同样电磁场也是线性空间，比如说静电场我们也可以用傅立叶方法进行分解。
同样我们再说矩阵，矩阵的意义就是在于刻画线性变换。线性变换也具有优良的性质，这个性质让我们发现，微分和积分都是和矩阵一样的线性变换。还有常用的基变换和坐标变换也是如此。
然后我们学线性代数的时候，有矩阵的特征值和特征向量这个章节对不对？因为矩阵刻画了线性变换，那么我同样可以让线性变换也有特征值和特征向量，而有一类特殊的线性变换其特征向量就是其作用的线性空间的标准正交基，那么我们就可以用特征向量构造线性变换作用的线性空间。由于微分和积分就是线性变换，那么我们就可以给出一大类微分方程和积分方程的通解，通解就是线性空间的任意元素用基矢量进行线性表达。而量子力学的理论也是这样构造的。
所以说线性代数到底讲了什么？其实就是讲了线性空间和线性变换，线性空间和线性变换，提供了一个框架，这个框架可以把几何，分析，解方程代数统一到这个框架下面，甚至于物理学的波动理论，电磁场理论和量子力学理论都可以统一到线性空间这个框架下面。
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