1. 密码学鬼才王♂琦提过，拿π的任意一段比较长的小数序列统计一下，就会发现各个数字出现的频率基本一样，这说明π很有可能是正规的，即 0 到 9 均匀地发布在π的各个位上。
你拿出π中的某一段数字，比如 12347，问下一个数字最可能是 0 到 9 中的哪个？结果每一个数字出现的概率都差不多。目前二进制形式的π的正规性已经被证明了，但十进制的至今还没有人能证明出来。
另外，在 1897 年，美国有个业余的数学家试图让印第安纳州议会来通过所谓的印第安纳圆周率法案，希望以法律的形式强制规定π=3.2，因为这样就能巧妙地解决化圆为方等一系列的问题！妙啊，实在是妙啊！
最终，该法案虽然通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决了。
2. 1744 年欧拉证明了 e 是无理数，1761 年 Lambert 证明了π也是无理数。又过了一百多年，法国的 Hermite 在 1873 年最终证明了 e 是超越数（即它不是任何有理系数多项式的根）。
那么，请问，e+π 是否是无理数？谁也不知道，连王琦都证明不出！
另外，百度知道写的什么玩意儿，1761 年怎么就成了 17 世纪了？按这个逻辑岂不是二十世纪才是生物的世纪？！！
——————— 啊，又写了不少 ———————
3. 完美长方体问题
是否存在一个棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体？
就是求
这一方程组的正整数解。如果有，这个由 a,b,c 构成的长方体就是一个完美长方体。
目前还没有找到任何完美长方体，也没有人证明完美长方体不存在。
4. 奇完全数存在性
有没有一个完全数是奇数呢？
当一个整数的所有真因子（即除了自身以外的约数）之和，恰好等于它本身时，我们称这个数是一个完全数。
比如说：第一个完全数是 6，它有约数 1、2、3、6，除去它本身 6 外，其余 3 个数相加，1+2+3＝6，恰好等于本身。第二个完全数是 28，它有约数 1、2、4、7、14、28，除去它本身 28 外，其余 5 个数相加，1+2+4+7+14＝28，也恰好等于本身。
目前我们发现的所有完全数都是偶数，那可不可能存在一个奇数也是完全数呢？不知道。
5. 孪生素数猜想
是否存在无穷多个素数 p，使得 p + 2 也是素数？
如果 p 和 p + 2 都是素数，那么他们俩称合在一起为一对孪生素数。
这个问题最重要的进展是由张益唐做出来的，他证明了存在无穷多个素数 p，使得 p + c 也是素数，其中的 c<70000000。
当然后来很多人改进了他的方法，目前已经证明了 c<=246。
遗憾的是，这个改进的作用是有限的，各种理论计算结果表明，最多最多能改进到使得 c<=6。张益唐和陶哲轩都承认了这一点。
评论区里有人说我这部分内容抄了别人的，我冷冷一笑：请问您是最近一两个月看了一个关于张益唐和南科大的高赞回答吗？没想到吧，那就是我写的。
我 抄 我 自 己 。
6. 哥德巴赫猜想
任意一个大于 2 的偶数，都能表示成两个素数之和。
众所周知，对于这个问题目前最接近的结果是陈景润做出来的，他用筛法证明了每一个大于 4 的偶数 E 都等于两个奇素数之和 A+B 或者是两个奇素数的积与和一个奇素数之和 A*B+C。（他真的不是在证明 1+2＝3 这种幼儿园算术题！）
从那以后，几十年的时间里还是没有人解决这个问题，因为筛法已经用到极致了，现在需要新的方法了。这个新方法什么时候能出现呢？也许是明天，也许是三百年以后。
7.冰雹猜想
这个猜想有很多别名，比如 3n+1 猜想、角谷猜想，它是说：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，则对它除以 2，如此循环，最终都能够得到 1。
如 n = 6，根据上述数式，得出序列 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。
如 n = 11，根据上述数式，得出序列 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。
如 n = 27，根据上述数式，得出序列
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
冰雹的最大魅力在于不可预知性。比如说这个 27，虽然是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27 要经过 77 个步骤的变换到达顶峰值，然后又经过 34 个步骤到达谷底值 1。一共有 111 步，其中的峰值 9232 是原有数字 27 的 342 倍！
一代天骄保罗·埃尔多斯就说过他要奖 500 块钱给解决这个问题的人（呃，虽然钱并不多……）， Jeffrey Lagarias 甚至在 2010 年表示：“这个问题难到逆天，现代数学甭想整出来！”
截止至 2017 年，我们一个个地算啊算，已经算到了 87 * 2^60，还是没找到例外的情况。但是这并不能证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
我不由得想到很多年前有人一辈子都在算哥德巴赫猜想，希望找到一个不能分解成两个素数之和并且比 2 大的偶数，结果到死也没找到……我估计他们都想到了欧拉。你说欧拉多幸运啊，当年他算费马数，只算了第六个费马数就发现费马的素数生成公式是错的，这要是第十个、第二十个才是错的呢？那还不知道要算多久！
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