为什么曲线要分为第一类曲线和第二类曲线？_网络百科

2019.10.31 更新，非常感谢楼下的某匿名大佬提供的公式代码，感谢！

从本质来说，第一类曲线曲面积分，以及重积分，其实都是多元数量值函数的积分，而第二型曲线曲面积分，属于多元向量值函数的积分。

这样说可能过于抽象了，下面具体解释一下为什么曲线积分有两类，以及两类之间的区别与联系（正如大佬所说，有些地方不严谨，但是我尽量讲的足够通俗，至少争取各位看官都能看懂）

一、从物理背景看曲线积分为何有两类

1.不均匀平面弯杆的质量

假设 L 为 xoy 面上的一个密度不均匀分布的弯杆，设 L 的方程为 y＝y(x)，其上任意一点的密度为μ(x,y)，且μ为连续函数。为计算弯杆总质量 M，我们先利用 L 上 n-1 个点将其等分成 n 份，每一段小弧长度用 ds 表示。只要 n 充分大，那么每一小段的密度μ可以近似视为常量，从而利用微元法，我们可以轻松得出，总质量为

$M = \int u(x,y)ds$

这种积分，我们将其称为(平面)第一型曲线积分。

2.变力沿曲线做功

假设平面 xoy 上有一物体 M，受到变力 F(x，y)的作用，沿着曲线 L，从 A 点运动到了 B 点，如何求变力 F 所做的总功呢？我们采取的方法是

“力的正交分解”+“微元法”

首先，我们将力 F(x,y)正交分解为水平方向的分力 P(x,y)和竖直方向的分力 Q(x,y)，那么很明显，合力 F 所做的总功，等于水平方向分力 P(x,y)所做的功和竖直方向分力 Q(x,y)所做的功(注意，功是标量，本身没有方向，我们分解的只是力！)

然后采用我们之前在计算“不均匀平面弯杆的质量”时用过的微元法 ---- 取 L 上 n-1 个点将其等分成 n 份，每一段小弧长度用 ds 表示。只要 n 充分大，那么每一小段的分力 P 和 Q 均可以近似视为常量，与 x,y 无关。从而利用微元法，我们可以轻松得出，水平方向分力 P 所做的总功为 W1＝∫P(x,y)dx，积分域为 L；竖直方向分力 Q 所做的总功为 W2＝∫Q(x,y)dy，积分域也为 L，所以变力 F 沿曲线 L 从 A 到 B 所做的总功为

$W＝W1+W2＝\int P(x,y)dx+ \int Q(x,y)dy$

这种积分，我们将其称为(平面)第二型曲线积分。

综上，我们可以看出，因为实际问题的需要，我们将曲线积分分为了第一型和第二型。它们之所以都叫曲线积分，那是因为二者的积分域均为曲线 L；之所以又有区别，那是因为二者所解决的问题不同，第一型曲线积分是为了计算不均匀弯杆的质量，第二型曲线积分是为了计算变力沿曲线做功。

二、两类曲线积分的区别与联系

(一)区别

两类曲线积分之间的区别确实太多了。

首先，它们的背景意义不同，这便是重要区别之一；

其次，根据背景意义，我们可以轻松得出，第一型曲线积分，是没有方向性的，它不依赖于积分曲线 L 的走向(因为质量 M 与 L 的方向无关)。而第二型曲线积分的值，明显依赖与积分曲线 L 的方向(因为从背景意义来说，即使力的大小方向不变，但是物体如果沿着 L 从 B 到 A 反向运动，则 F 所做的功会变为相反数)