什么是孤子?什么是孤子解?(孤子是指有一个儿子吗)


看一个非常简单的物理中的孤子解,然后考察它的性质。首先写一个 1+1 维经典场论,它的 Lagrange 量密度

求出运动方程

讨论它的静态解,也就是令

。显然当势能取最小值,即

,我们有两个独立的基态解。若取边界条件

,会有一个孤子解

这称为 kink,其中

是积分常数,可以看作孤子的位置,

时的图像如图 1。当然取相反的边界条件也可以得到孤子解

,称为 antikink。

图 1

能量密度为

图像如图 2。

图 2

能量的局域性暗示孤子可以被看作一种粒子。接下来积分求出总能量

我们对这个解作 Lorentz 变换:

这时重新算一下总能量,发现任意时刻都有

那么这个解就可以被看作是具有能量

,以速度

运动的粒子。很重要的是,随着时间推移,场和它的能量密度的构型仅仅发生了中心的平移,并没有发生耗散,kink 确实就像是粒子。它像是不受任何阻碍地在运动,因而称为孤子。

此外,这个粒子还具有某种守恒的拓扑荷,因而又称为拓扑孤子。要看到这一点,首先定义拓扑流

对应的拓扑荷为

于是 kink 带有 +1 的拓扑荷,而 antikink 带有 -1 的拓扑荷。有限能量的过程不可能改变场在无穷远处的渐近行为,因此这个拓扑荷是守恒的。这个守恒荷来自基态空间和场构型的非平凡拓扑结构,而不是根据 Noether 定理来自某种连续对称性,因而称为拓扑荷。

凝聚态和高能场论中的 kink,vortice,monopole,domain wall,skyrmion,instanton,宇宙学中的 cosmic string,都是孤子。


更新:多说一些拓扑荷的事情。

就像用规范场的 Noether 荷区分不同类型的基本粒子,我们也考虑一些守恒量,以区分不同类型的场的孤子解。既然我们是考虑一个能看作粒子的场构型,那么能量的局域性要求能量密度在无穷远处趋于零。因为有限能量的过程无法改变场在无穷远处的行为,所以我们只需要场在无穷远处行为的拓扑分类。

我们将场

看作是

到它取值构成的流形

的映射,孤子解的渐近行为

就是

上无穷远处的球面

到场处于基态时的取值构成的子流形

的映射。我们用

的同伦类,也就是同伦群

的元素,区分不同类型的孤子解。

回到这里

的情形,

也就是拓扑上不等价的基态集合,场构型也就是

的元素。这里

包含两点,就应该有 4 种拓扑上不等价的构型。假设场由

描述,如果

,它表示一个全局的基态

;如果

,它表示非平凡的孤子解

,根据

的具体取值,可以是 kink 或 antikink。这里定义的拓扑荷就是反映

同伦类的一个拓扑不变量。

的情形,我们用

,也就是

的基本群,来分类场构型。它的非平凡元素有 vortex 的特点,例如图 3 二维 XY 模型中的自旋构型,相应的拓扑不变量就称为缠绕数。

图 3

规范场论中常常用 Chern 数来分类孤子。它们是 Chern 形式在全空间上的积分,Chern 形式是由势

和场强

构造的规范不变的偶数次微分形式,局部上可由 Chern-Simons 形式的外微分给出,更多内容可以参看 @Again 的回答

瞬子与轴矢流反常以及 U1 problem 如何联系在一起?

以及 @史诗生物 的专栏

从超对称开始的异世界物理

References:

E. J. Weinberg, Classical Solutions in Quantum Field Theory: Solitons and Instantons in High Energy Physics, Cambridge, 2012.

N. Manton & P. Sutcliffe, Topological Solitons, Cambridge, 2004.

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