为什么 lnx 求导是 1/x?(为什么lnx的x次方极限为1)


这个问题非常有意思,高赞答主们从各个角度描述了对数函数的定义及其导数,但是其核心问题还是没有解决,即对数函数

为什么在某些方面像一个幂函数(

咋看之下这似乎是无稽之谈,

明明等于

,而其它的幂函数的定义也跟对数函数全然不同,除了对数函数的导数也是幂函数之外,似乎就没有其它相似之处了。

不过非常恰巧,我前段时间对各种不同的平均做了一点点研究,里头也有非常类似的“对数函数表现的像一个幂函数”的行为,不过读者需要先花一点点时间了解一下什么是幂平均

对于两个正实数

,我们知道他们的算术平均

几何平均

,并且有算术几何平均不等式:

,这是中学数学的范畴。

到了大学之后,偶尔我们会遇到另一种平均值:均方根(root mean square, RMS),即

,不过理解这个平均值依然只需要中学数学知识就够了:假设

(下同),不难发现

,所以

确实介于

之间,可以当作是某种平均值。

有了均方根,我们很容易就想到,如果把二次方改成三次方行不行?四次方、五次方呢?这就很容易导出了幂平均的概念:

。这样一下子就把算术平均、均方根,推广了无穷多种平均值,只要代入不同的

就可以了,比如调和平均就也被包含了进来:

幂平均还有一个很有意思的性质,从图上也可以看出来,就是它关于

是单调的。事实上,如果

趋向于正(负)无穷,那么幂平均就会趋向于

(

)。对于任何有限的

,则幂平均始终在

之间。

我们甚至可以对幂平均再做一次推广,把幂函数换成任意函数,把求根换成该函数的逆函数,就得到拟算术平均(quasi-arithmetic mean),又叫广义 f- 平均(generalized f-mean):

,幂平均就对应于

时的情形。

好了,现在背景知识都介绍完了,这与本来的问题有什么关系呢?

别急,我们刚刚忘了提几何平均了,既然幂平均可以一直从

走到

,那几何平均在其中的什么位置呢?

也许你已经猜到了,几何平均就在

的位置!

注意到幂平均在

处是没有定义的,因为不能开零次方根,但是我们可以用极限的角度定义

证明其实不难,只要注意到对于任意的

,我们有

,而由于

时是单调减的所以不等号要反过来,就可以知道

只能在在

的位置了。

所以按照幂平均与

的对应关系,

似乎对应于

对应的广义平均。然而事实上,

下的广义平均。这么一看

是不是跟幂函数

有了某些奇怪的相似关系了?

事实上,幂平均(包含

的特殊情形几何平均)是唯一一种满足齐次性的拟算术平均。什么是齐次性呢?简单地说,

(两米)跟

的平均值,根据平均值的定义方式的不同,不一定是

,也许是比方说

。但是如果我们把这两个数换个单位,那么齐次性要求

在同一个定义下,平均值必须是

。换句话说, 我们要求平均值

满足

,或者更一般的,

,这就是(一次)齐次性。

这个齐次性的要求既自然又苛刻,事实上,只要我们要求广义平均满足齐次性,可以证明

只能是幂函数

或者对数函数

,顶多加上一个常数因子。其它的函数比如指数函数等都是不满足这个性质的。

所以说,对数函数与幂函数的关系远比表面上看起来更加复杂,其中更深入的关系还望有学数学的大神前来揭秘。


竟然这么多人看,趁机推销一下我自己写的段子好了

有哪些学术性强的笑话 / 段子?

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