洛必达法则当然你在大学阶段可以使用。但是只要有水平的出题老师,可以做到让你在大学考试的时候不想用洛必达法则,逼迫你去使用其他的方法求解。
我个人并不反对使用洛必达,甚至非常建议在求极限已经化简比较简单的时候,使用洛必达法则。
一、使用洛必达法则的一些建议
- 基本上大的工作已经处理完毕(使用等价无穷小、泰勒展开、加减凑项、确定项代值)后,发现用其他办法不如洛必达稳定。
- 本身就是比较简单的极限问题,并且求导你很有把握。(大学老师如果禁止你使用洛必达法则,多半有可能是题目太简单了,用洛必达法则可以很稳求解出来)
- (慎重考虑)发现其他方法并不好做,并且在确定已经有足够的时间下,使用洛必达法则,暴力计算出来。
二、为什么我们通常不使用洛必达法则
- 求极限的方法有多种多样,绝大多数问题都可以通过等价替代、泰勒展开、加减凑项、幂指代换等搞定。
- 我们经常高估了我们的计算能力,很多函数求导本身过分就很复杂,求导之后的结构更加复杂,见例题 1。
- 但是有一些题目,虽然求导很复杂,但是我们可以保留求导符号使用洛必达法则,见例题 3。
- 有时候判断极限是否是 0/0 型和
型也不容易,一旦判断错误,这道题直接就错了。
- 有一些题目,使用洛必达法则,会有着意想不到的效果,见例题 2。
三、与洛必达法则有关经典极限例题(选自专栏微积分每日一题)
微积分每日一题
例题 1:不适合使用洛必达法则
比如这道看上去很简单的问题,你可以看出几种方法进行对比,洛必达法则相比而言是比较复杂的:
![](https://pic1.zhimg.com/v2-693469afcc2f20d3ff5e210bdcd8d2da_720w.jpg?source=8673f162)
例题 2:非常适合使用洛必达法则
这道题应该来说是一道知乎名题,使用洛必达法则可能是最容易的求解方法了:
![](https://pic1.zhimg.com/v2-00b345f8d91e4509c9b48030ee277f35_720w.jpg?source=8673f162)
例题 3:适合使用洛必达法则,但是不需要把求导结果展开
比如这一道题的解法 2,就是一个洛必达法则的妙用,但是我们需要有强大的功底,知道这样使用洛必达法则也是可以的,铺垫见紫色文字:
![](https://picx.zhimg.com/v2-88cc083309a07216bdf9d093152ace19_720w.jpg?source=8673f162)
例题 4:适合使用洛必达法则,但需要联合其他技巧
这道题虽然洛必达法则不是最重要的求解技巧,但是在拉格朗日中值定理处理完极限之后,还是要考察求导的基本功(洛必达法则)了:
![](https://picx.zhimg.com/v2-e5c96fdcb5b008271ef7a68c4d1f2403_720w.jpg?source=8673f162)
例题 5:非常适合使用洛必达法则的极限题
这道题我采用了两种方法求解,第一种方法巧妙地将极限写成多个乘积极限的形式,并对每个极限采用洛必达法则,得到极限后,利用极限四则运算法则即可得到答案。如果采用换元技巧,则难度上大得多了:
![](https://picx.zhimg.com/v2-183784e20cfaf464b4a1d6b823ab0f41_720w.jpg?source=8673f162)
四、与洛必达法则有关的证明题例题 1:中间过程运用洛必达得到题目暗示结构
这道题洛必达法则起到了中间过程的作用,目的是求构造函数的导数从而得到题意中的结构:
![](https://picx.zhimg.com/v2-6515919ec2dc6d3fd091fe78c0375aa8_720w.jpg?source=8673f162)
例题 2:先利用洛必达法则一次后,再利用其他手段求解
这道题先利用洛必达法则一次之后,再利用其他手段巧妙进行求解。本质上这是因为我们对 3 阶的无穷小量更加熟悉了:
![](https://pic1.zhimg.com/v2-3bcecf9321b9a8ea8285046c3df78944_720w.jpg?source=8673f162)
五、含有变限积分的极限问题
很多含有变限积分的极限问题,第一步往往需要洛必达法则打开变限积分(复杂的问题往往需要先换元简化被积函数),之后再利用其他的办法求解。
下面是一些变限积分收录的问题,可以阅读与洛必达法则相关的问题:
MathHub:变限积分类问题习题荟萃 -- 微积分每日一题特别版
看完这些之后,你是否对洛必达法则有了一定新的认识呢?