(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

2023-07-19 06:00:26 • 网络百科

3Blue1Brown 给了一个非常漂亮的几何解释：大概思路是用反比平方定律把问题物理化。假设你在一个周长为 2 的圆形湖上，其直径为

$d=2/\pi.$

假设你在这个环形湖对面有个点光源，那么根据反比平方定律，你感知的光线强度就是

$I\sim1/d^2=\pi^2/4.$

然后可以利用相似三角形的性质，即

$1/h^2=(1/a)^2+(1/b)^2$

将一个距离你

$h$

的点光源的强度转化成两个距离你分别

$a,b$

的点光源强度之和.

具体操作如下：考虑一个直径为

$2d$

的圆

$C_1$

，和原本的圆在你所在的位置

$O$

相切. 根据上面的相似三角形关系，可以将距离你

$d$

的点光源的强度替换成如下两个点光源

$A_1,A_2$

的强度之和. 由于对称性，这两个点光源和你的距离一样，不难验证

$\widehat{OA_1}=\widehat{OA_2}=1.$

完成这一步之后，下一步做一个直径为

$4d$

的圆

$C_2$

，仍然与之前的所有圆在

$O$

点相切. 做一条

$C_2$

的直径过

$A_1$

，再把这条直径与

$C_2$

的两个交点分别和

$O$

连接，再次利用相似三角形将

$A_1$

转化成如图所示的两个点光源

$B_1,B_2.$

对

$A_2$

用相同的操作，这就把原本

$C_1$

上的两个点光源替换成了

$C_2$

上的四个点光源

$B_1,B_2,B_3,B_4.$

不难验证这四个点光源将圆

$C_2$

四等分。所以这四个点光源和你的距离(劣弧

$\widehat{B_i O}$

的长)分别为 1，1，3，3。

下一步，和第二步操作完全一样，现在做一个周长为

$6d$

的圆

$C_3$

，与所有圆在

$O$

点相切，对于每一个

$C_2$

上的点光源，做一条过这个点的

$C_3$

的直径，将直径与

$C_3$

的交点与

$O$

连接，利用相似三角形关系将这个点光源替换成

$C_3$

上的两个点光源。不难验证

$C_3$

上的 8 个点光源将这个圆八等分，与

$O$

形成的劣弧长度分别为 1，1，3，3，5，5，7，7.

继续重复这个步骤。于是在第

$n$

步，我们做一个直径为

$2nd$

的圆

$C_n$

，并且

$I=\pi^2/4$

是这

$2^n$

个点光源的强度之和，这

$2^n$

个点光源和

$O$

围成的劣弧长度分别为 1,1,3,3,5,5,7,7,9,9......当这个操作趋向于无穷的时候，圆越来越大，在你看来这个这些点光源就变成了一条直线上无限个间隔为 2 的点光源：

所以我们得到

$I=\frac{\pi^2}{4}=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}.$

对于偶数项，我们发现

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{2^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}.$

所以如果设

$S=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}，$

就有

$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}S.$

解得

$S=\pi^2/6.$

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