拉普拉斯变换中的 S 是个什么鬼?(拉普拉斯变换和z变换的区别)


A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.(一个比较好的关于 Laplace 变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。)
— —Arthur Mattuck (原 MIT 数学系主任)

学过控制的都知道拉氏变换(Laplace Transform),其可以将微分方程转化为代数方程进行运算,使得求解大为简化。

但你们是不是也有这样的疑问:拉氏变换中的

是怎么来的?皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯[1]当年为啥就能想出个这样的数学变换公式?

Pierre-Simon Laplace (1749–1827)图片来源:(Wikipedia)

我是自从接触拉氏变换就一直有这样的疑问,直到有一天,看了 Arthur Mattuck [2]的微分方程才恍然大悟。更有意思的是,导师有一天也问了这样一个看似无厘头的问题,还好当时有所准备。

Arthur Mattuck

如果学过高等数学,都应该知道:一个幂级数可以写为如下形式:

将其展开其实就是:

如果将其中幂级数的系数

看成一组离散的函数,则上式

也可以写为:

通过把

看作一组关于变量

的离散函数,式

相当于描述了函数

的构造过程。

输入是离散函数数列

,输出则是由多项式构成的函数

。即,只要输入一个

数列,就可以输出一个函数

,其中,

是输出函数

的自变量。

现在,举一个例子,如果取

,即

,那么将得到输出为:

有人说式

最后等于

,但这么说其实不准确,因为并不是对于所有的

都成立,只有当它是一个收敛级数时才成立!

而式

的收敛域为

,所以当满足收敛条件时,式

可以改写为:

再举一个例子,如果

,即

,则有:

 



在这个例子里,对于任意 均成立,即收敛域为 其实式 就是函数 处的泰勒展开,或者说是函数 的麦克劳林级数

从上面的例子可以看出,取一个定义在正整数上的离散函数,然后进行无穷次的相加操作,结果却能够产生一个连续函数。而且注意其中的离散函数 的变量为 ,相加得出的却是关于变量 的连续函数。

现在,让离散求和变成连续求和,即不再是变量 ,而是另外定义一个变量 ,并且有 ,即 可以为 中的任意数。

如果想用 取替代 ,显然不能再用上面处理离散序列的办法进行求和,而是通过积分操作。即:



与式 的区别在于:用 取替代了 ;用积分符号替代了累加符号。

我们可以保留这种形式,但是没有数学家喜欢这样做,而且工程师也很少会这样做。因为在做微积分运算时,没有人希望其中有一个指数的底是 之类的积分或微分项,这看起来很头疼。而唯一方便的是取指数的底数为自然常数 。只有 才是人们喜欢用来积分或微分,因为 在微积分时可以保证自身不变函数,详见:《自然底数 e 怎么就“自然”了?》和《为什么 e^x 的导数是还是其自身?》。

因此,将以 为底数的指数替换成以 为底数的指数形式:



既然写出这个积分当然希望其可解,或者说收敛。而只有当 是一个小于 的数时,即自然指数函数的幂为负数时,该积分才有可能收敛,所以这里要求 。作为对数,还需要满足 (对数的详细介绍请见:《为什么说"对数"可以延长天文学家寿命?》),所以这里有 。显然,当 时,

这个变量看起来貌似有点复杂,我们何不再用一个符号去代替它呢?

那么就用 吧!

,因为上面说了 ,取 的话, 就总为正数了,处理正数当然更符合人们的习惯。另外,用 代替 ,这样看上去更像我们熟悉的函数形式。这些替换只是为了修(hao)饰(kan),现将这些替换代入式 中,得:



通过这种方式,我们得到了Laplace Transform

如果用符号表示这种变换,可以将式 写为:



这就是 变换,当输入一个关于 的函数,将得到一个关于 的函数。

最后提一句,这里说的是变换,而对于一个算子来说,就不会是这样,变换和算子的最本质区别在于,经过算子运算,变量没有变,比如微分就是一种典型的算子。经过变换则会改变变量的形式,类似的例子可见:《如何给文科生解释傅里叶变换?》。

 

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