A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.(一个比较好的关于 Laplace 变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。)
— —Arthur Mattuck (原 MIT 数学系主任)
学过控制的都知道拉氏变换(Laplace Transform)，其可以将微分方程转化为代数方程进行运算，使得求解大为简化。
但你们是不是也有这样的疑问：拉氏变换中的
是怎么来的？皮埃尔 - 西蒙·拉普拉斯[1]当年为啥就能想出个这样的数学变换公式？
我是自从接触拉氏变换就一直有这样的疑问，直到有一天，看了 Arthur Mattuck [2]的微分方程才恍然大悟。更有意思的是，导师有一天也问了这样一个看似无厘头的问题，还好当时有所准备。
如果学过高等数学，都应该知道：一个幂级数可以写为如下形式：
将其展开其实就是：
如果将其中幂级数的系数
看成一组离散的函数，则上式
也可以写为：
通过把
看作一组关于变量
的离散函数，式
相当于描述了函数
的构造过程。
输入是离散函数数列
，输出则是由多项式构成的函数
。即，只要输入一个
数列，就可以输出一个函数
，其中，
是输出函数
的自变量。
现在，举一个例子，如果取
，即
，那么将得到输出为：
有人说式
最后等于
，但这么说其实不准确，因为并不是对于所有的
都成立，只有当它是一个收敛级数时才成立！
而式
中
的收敛域为
，所以当满足收敛条件时，式
可以改写为：
再举一个例子，如果
，即
，则有：
在这个例子里，对于任意 均成立，即收敛域为
。其实式
就是函数
在
处的泰勒展开，或者说是函数
的麦克劳林级数。
从上面的例子可以看出，取一个定义在正整数上的离散函数，然后进行无穷次的相加操作，结果却能够产生一个连续函数。而且注意其中的离散函数 的变量为
，相加得出的却是关于变量
的连续函数。
现在，让离散求和变成连续求和，即不再是变量 ，而是另外定义一个变量
，并且有
，即
可以为
中的任意数。
如果想用 取替代
，显然不能再用上面处理离散序列的办法进行求和，而是通过积分操作。即：
式 与式
的区别在于：用
取替代了
；用积分符号替代了累加符号。
我们可以保留这种形式，但是没有数学家喜欢这样做，而且工程师也很少会这样做。因为在做微积分运算时，没有人希望其中有一个指数的底是 之类的积分或微分项，这看起来很头疼。而唯一方便的是取指数的底数为自然常数
。只有
才是人们喜欢用来积分或微分，因为
在微积分时可以保证自身不变函数，详见：《自然底数 e 怎么就“自然”了？》和《为什么 e^x 的导数是还是其自身？》。
因此，将以 为底数的指数替换成以
为底数的指数形式：
既然写出这个积分当然希望其可解，或者说收敛。而只有当 是一个小于
的数时，即自然指数函数的幂为负数时，该积分才有可能收敛，所以这里要求
。作为对数，还需要满足
（对数的详细介绍请见：《为什么说"对数"可以延长天文学家寿命？》），所以这里有
。显然，当
时，
。
这个变量看起来貌似有点复杂，我们何不再用一个符号去代替它呢？
那么就用 吧！
令 或
，因为上面说了
，取
的话，
就总为正数了，处理正数当然更符合人们的习惯。另外，用
代替
，这样看上去更像我们熟悉的函数形式。这些替换只是为了修(hao)饰(kan)，现将这些替换代入式
中，得：
通过这种方式，我们得到了Laplace Transform！
如果用符号表示这种变换，可以将式 写为：
这就是 变换，当输入一个关于
的函数，将得到一个关于
的函数。
最后提一句，这里说的是变换，而对于一个算子来说，就不会是这样，变换和算子的最本质区别在于，经过算子运算，变量没有变，比如微分就是一种典型的算子。经过变换则会改变变量的形式，类似的例子可见：《如何给文科生解释傅里叶变换？》。
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