如何解一元三次方程?(如何解一元三次方程初中数学)


历史上,最早尝试一元三次方程的根式解的,是一批意大利数学家.

意大利数学家Scipione del Ferro(1465 年——1526 年)首先得出不含二次项的一元三次方程求根公式.

之后,另一位意大利数学家Niccolò Fontana "Tartaglia"(1499 年或 1500 年——1557 年)独立得出一元三次方程求根公式.

意大利数学家Girolamo Cardano(1501 年——1576 年)拜访了 Tartaglia,并获得了包含一元三次方程求根公式的暗语般的藏头诗.

很快,Cardano 从藏头诗中悟出了求解一元三次方程的方法,所以现在这个方法经常被称为“Cardano 法”

再往后,Cardano 的学生Lodovico Ferrari(1522 年——1565 年)在一元三次方程的求根公式的基础之上,给出了一元四次方程的求根公式.

我就简单讲一下一元三次方程的 Cardano 法,这也是最一般最通用的解法:

首先,对于一般一元三次方程

……(1)

由代数学基本定理,它必然在复数域上有根,而且只有 3 个根(包括重根)

我们总可以将所有系数除以

,化成一个首一三次多项式

……(2)

进一步,我们可以通过配方的办法,作代换

,以消去原方程的二次项,将之化成如下形式:

……(3)

然后,我们令

方程可以化为

整理可得

也即

……(4)

考虑方程组

……(5)

显然方程组(5)的解一定是不定方程(4)的一个解,而方程组(5)一定是有解的

可得

所以

可得

不妨取

这样

就是一元三次方程(3)的一个根

这个

叫做该一元三次方程的判别式

我们知道,

恰好是三次方程

的三个根

(实际上构成了一个三阶循环群)

我们很容易发现,如果

是方程组(5)的一组解

那么

同样是方程组(5)的解

这样,一元三次方程(3)的三个根分别为:

至于更一般的一元三次方程(1)、(2)的根,你再换元换回来便是,当然表达式看起来就得更复杂了……

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