初等函数以外的函数是什么样子的?(初等函数在其定义域区间内必定存在原函数。)


这个问题问的好,我在高一刚学习基本初等函数的时候,也问过这个问题:“初等函数以外的函数是什么样子?”但是当时老师没有解答,并告诉我,你以后一定会学到的,现在来看,他说的对。

Q1:有哪些典型的非初等函数的例子呢?这些函数有什么实际含义吗?

典型例子就是人们尝试去计算椭圆的弧长:

其中

是椭圆的离心率

这个积分没有初等函数的有限次组合的解,但是计算中带着这么多积分符号很不方便,那怎么办呢,这时候就需要引入特定的名称表示他们:

第二类完全椭圆积分函数

这样椭圆周长

可以看到,离心率(形状)不变的情况下,正比于半长轴。

想知道大小查表就行了,可以简单验证一下,当离心率

时,就是圆,此时周长=

椭圆周长公式成功收敛到圆的周长公式

Q2:那么椭圆积分有什么用呢?

一些其他比较复杂的积分,且无解析解的情况

例如:计算

,是不是看上去很简单,但其实他也是没有解析解的,但可以用椭圆积分表示:

其中 F 是第一类不完全椭圆积分,E 是第二类不完全椭圆积分,

代表其辐角。

当然,建模上 / 工程上如果需要计算这种积分,直接用 Simpson 等格式来数值计算就行了。

第二类完全椭圆函数

Q3:那么除了椭圆积分,还有其他的哪些非初等函数呢?

大学课程概率论和数理统计最常用的两类函数

贝塔 B 函数,又称第一类欧拉积分:

伽马函数,又称第二类欧拉积分

例如高中接触到的正态分布,那一大坨公式,就可以简介的用

来表示。

此外他们之间还有一些有趣的运算规律:

Gamma 函数的图像

Q4,以上都是定积分相关的非初等函数,有没有其他途径的来源?

还有一大类问题,定义出了很多非初等函数,例如贝塞尔函数,安格尔函数等等

是数学家在解决部分微分方程时,发现他们也没有初等函数解,在后续学习常微分方程,偏微分方程,或者说数学物理方程的课程时,会大量用到哦

例如

的解很容易就知道是

但是形如

并没有一个初等函数的解,那怎么办呢?

第一类贝塞尔函数,就诞生了:

即表示上述常微分方程的解。

Bessel 函数在 n=0 的图像

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