省流版：
不存在这样的操作。
因为重复的操作会构成一个有限的循环群，它是一个阿贝尔群。但考虑到魔方群是一个非阿贝尔群，它不可能同构于一个阿贝尔群。因此不存在。
一、魔方群概念的引入
这其实是一个相当 trivial 的问题，用数学中群论的语言就可以轻松回答这个问题，且不需要太多数学知识也能看懂这个回答[1]。
我们以常见的 3 阶魔方为例，下面这张图给出了 3 阶魔方的 6 个基本操作：
- 前面旋转 90°（F, front），
- 后面旋转 90°（B, back），
- 左面旋转 90°（L, left），
- 右面旋转 90°（R, right），
- 上面旋转 90°（U, up），
- 下面旋转 90°（D, down）：
这里的 90° 都是指正面对着要操作的那个面，顺时针旋转 90°。
魔方的每个面共有 9 个色块，总共 6 个面。那么一个 3 阶魔方包含 6×9=54 个色块，除去每个面最中间保持不动的色块（因为无论怎样旋转魔方，它们始终不变），魔方总共包含 54-6=48 个可移动色块。我们可以给这 48 个色块进行进行编号，如下图所示：
只要确定这 48 个数字的位置，我们就确定了一个魔方目前的状态。在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一部分数字的置换。
当我们拿到一个初始复原状态（简记为
）的魔方，进行随机打乱，可以得到一个混乱状态（简记为
）的魔方，即
上面右边这一组操作符号是我随便写的。我们把这一组操作的复合简记为
，即
。那么，我们只要遍历对魔方所有可能的操作
，就可以从复原的状态开始，得到任何一种可能的打乱状态。在数学中，这些所有可能操作
的集合叫做群。对于魔方而言，我们把它叫做魔方群（Rubik's Cube group）。
取
的逆操作
，它表示的是如何从打乱的状态
开始，复原到初始状态
。那么我们可以得到
。所以魔方复原问题，转化成数学语言来说就是，如何从给定状态 ，找到魔方群中的某个群元素
，使得
。
听上去这好像很简单，但实际玩过魔方的人都知道，魔方复原非常困难。
这是因为魔方群
的是一个非常庞大的群，前面我们提到可以用 48 个数字的置换来表示魔方的一个操作，排除掉某些不可能的置换（比如你不能把魔方的一个色块给拆下来再转个角度拧回去），所以魔方群是一个 48 阶置换群
（它表示所有 48 个数字可能的置换）的子群，而
总共有
个元素，可能大家不能直观体会这个数字的庞大，实际上
所以
是一个 62 位数。但魔方群
是
的子群，似乎要简单一点，但也简单不到哪里去。具体分析魔方群的元素个数是一个不轻的体力活，我们这里不去具体证明，直接上答案[2]：
它是一个 20 位数，在这庞大的集合里找到使得魔方能够复原的 1 个元素，听上去就不是那么容易的事（不过它们都有固定公式可以套用，所以实际上也没这么夸张）。
二、魔方群是一个非阿贝尔群
在做了上面这些铺垫之后，让我们回到题主的问题：
是否存在一套动作，使得对于任意状态的魔方，只需要重复该动作到一定次数，都一定能还原？
这其实就是一个超级简单的数学问题。假设我们存在这样的一个操作，记为
，那么对于任何一个可能的魔方状态
，通过反复对它进行
这种操作，可以回到初始状态
。转化成数学语言，即存在某一个非负整数
，使得
这里的操作
显然是可逆的，因为我们对魔方转一个角度后，可以再反过来转同样的角度，就恢复到了转之前的状态。因此，我们可以得到
这样，我们可以从魔方复原的初始状态
开始，通过不断的进行
操作的逆
，可以得到任何一种可能的魔方状态。因此，
的集合就构成了一个群，显然它也是魔方群。即，
上式左边的
代表由 F, B, L, R, U, D 六个基本操作生成的群。而右边的
代表由
操作生成的群，注意它是一个循环群，因为它只有一个生成元
。由于这两个群都是魔方群，它们是同构的，用
表示。
所以到目前为止，题主的问题我们可以将其转化为：魔方群是否同构于循环群？
这个问题非常简单。注意
是一个阿贝尔群（即群中任意两个元素的乘积满足交换律），这是因为
。
但另一方面
却是一个非阿贝尔群。这可以举一个例子就容易判断得出，见以下图片：
我们分两种情况对魔方进行操作，
- 先对前面顺时针旋转 90°，再对右面顺时针旋转 90°，即
；
- 先对右面顺时针旋转 90°，再对前面顺时针旋转 90°，即
；
简单对比就可以发现，
，所以作用顺序不一样得到的魔方状态是不同的。因此魔方群实际上是一个非阿贝尔群。
由于阿贝尔群和非阿贝尔群不可能同构，因此不存在这样的操作，使得任意状态的魔方，反复进行此操作便能复原。
另一个角度，我们也可以从数学上来进一步验证。设有某两个整数
使得
,
，则我们可以得到：
这和我们前面通过实践得到的
相矛盾，因此假设不成立，不存在这样的操作
。
三、补充内容
实际上魔方群的结构远比循环群复杂的多，它和以下群同构，
这里的
是半直积（semidirect product）的意思。
另外还有一点可以补充的是，尽管我们在一开始通过六个基本操作（F, B, L, R, U, D）生成了魔方群，但魔方群生成元的最小个数并非是 6，它的最小个数是 2 （即魔方群的秩是 2[3]）。所以对于题主的问题，还可以进一步回答：
不存在一套动作，使得任意状态的魔方，只要不断重复该动作就可以复原。但可以只用两套动作，不断重复进行这两套动作，就可以使得魔方复原。
当然了，你要注意到，对于一阶魔方而言，只用一套动作显然是可以的。
我个人比较擅长复原 1 阶魔方
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