请问你见过的最强的公式是什么?(若我不曾见过太阳知更鸟)


最强的公式,用起来绝对爽爆了

时,有:

(黎曼 zeta 函数)
(狄利克雷 beta 函数)

其中

其中

附:为了方便计算,我们需要知道

其中

瞬间感觉其他的求和都弱爆了有木有!!

(拉马努金饶命)

维球体的体积:

由它可推出所有偶数维度的半径为

的球体体积之和为

————下面是应用————

以及, 1000 维球体的体积:


下面附上几个公式的证明

1.证明

,构造正方形围道:

N 为正整数

它在全平面的奇点是

,其中

级极点。

下面计算留数:

考虑到展开式:

,其中

伯努利数

可以得到:

所以:

带回原式得:

由留数定理:

,上式变为:

解得:

2. 证明

它也可以用留数证,过程留做习题

下面我们换种方法证~

引理 1
设: ,则有:
,(
证明:
读者自证不难,留作习题。(提示:先求出
引理 2:
)阶可导,则有:

证明
显然。(提示:泰勒展开)

它的根为

,(

)且均为二重根。

展开为无穷乘积:

而我们有:

引理 1

式左端等于:

引理 2

式右端等于:

此处利用了展开式:

综上可得:

实际上

也可用此方法哦~具体过程留做习题

3. 证明当

时,有:

Weierstrass 公式

可得:

分别换成

带入

式,换成

带入

,然后相乘可得:

原式便是此式的特殊情况,即

用此式还能推出这类的无穷乘积:


这么多赞了!!不更一下都觉得不好意思!!!我就放几个积分吧~

(弱弱地说一句,我搞不懂的式子不敢放出来……)

这是一个很像泊松积分的东西。

……

若令

,可得到:

下面是一大串拉普拉斯(Laplace)积分的推广:

实际上,它有递推公式:

所以知道

后就能欢乐地推下去了~

抽空再更~o(≧v≦)o

霸王龙前面两只小手手是干嘛用的?(霸王龙前肢有几个手指)
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