最强的公式，用起来绝对爽爆了
当
时，有：
（黎曼 zeta 函数）
（狄利克雷 beta 函数）
其中
其中
附：为了方便计算，我们需要知道
其中，
瞬间感觉其他的求和都弱爆了有木有！！
（拉马努金饶命）
维球体的体积：
由它可推出所有偶数维度的半径为
的球体体积之和为
————下面是应用————
以及， 1000 维球体的体积：
下面附上几个公式的证明
1.证明
令
，构造正方形围道：
它在全平面的奇点是
，其中
为
级极点。
下面计算留数：
考虑到展开式：
，其中
为伯努利数
可以得到：
所以：
带回原式得：
由留数定理：
令
，上式变为：
解得：
2. 证明
它也可以用留数证，过程留做习题
下面我们换种方法证～
引理 1：
设：，则有：
，（
）
证明：
读者自证不难，留作习题。（提示：先求出）
引理 2：
若在
处
（
证明：
显然。（提示：泰勒展开）
取
它的根为
，（
）且均为二重根。
将
展开为无穷乘积：
而我们有：
由引理 1知
式左端等于：
由引理 2知
式右端等于：
此处利用了展开式：
综上可得：
实际上
也可用此方法哦～具体过程留做习题。
3. 证明当
时，有：
由Weierstrass 公式：
可得：
把
分别换成
带入
式，换成
带入
，然后相乘可得：
原式便是此式的特殊情况，即
用此式还能推出这类的无穷乘积：
这么多赞了！！不更一下都觉得不好意思！！！我就放几个积分吧～
（弱弱地说一句，我搞不懂的式子不敢放出来……）
这是一个很像泊松积分的东西。
……
若令
，可得到：
下面是一大串拉普拉斯（Laplace）积分的推广：
实际上，它有递推公式：
所以知道
后就能欢乐地推下去了～
抽空再更～o(≧v≦)o
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