Leibniz 的微积分原理
谈到 Leibniz 这位数学大师，人们首先想到的就是其和牛顿的微积分发明之争，而现行微积分体系中的符号（诸如积分号，微分
等）几乎都是出自他之手。那在这里我们有必要思考这样的问题？为什么他发明的符号如此好用，只是因为简洁吗？还是说其选用的符号刻画着某些本质的东西。
对于 Leibniz 的微积分原理，可以简述如下：
给定一条曲线，其纵坐标为
，求该曲线下的面积。Leibniz 假定可以求出一条曲线（割圆曲线），其纵坐标为
，使得
，即
，于是原曲线下的面积是
。写成规范形式，即
。如果
为任意数
，得到的就是原函数。
在 Leibniz 的微积分原理中，“
”表示最简单的累加，“
”表示微分，
表示两相邻的差，并探索
和
的运算关系。也就是说，微分就是对于某区间的点级微分，积分是对点级微化结果的累加，微分与积分互为逆运算，并不存在本质不同的两个积分（定积分和不定积分），导数就是微商。
到这里，就讲清楚了符号的问题了，或者说也就说清楚了为什么会出现
。这在 Leibniz 的微积分原理里是不言自明的，因为在这里是先有的微分，后有的导数。那问题就来了，为什么微积分课没有这么讲呢？这是因为在 Leibniz 的原理中，
是说不清楚的，也就是现行数形模型中没有相邻的两个点。这并不是 Leibniz 之过，毕竟那个时代是没有实数的。那到底有没有可能说清楚？这就是值得思考的问题了。
线性主部的思想
那我们现在学习的微积分是怎么来的呢？其实是 Cauchy 等人在 Newton 和 Leibniz 的基础上做出修改，引进极限的思想，试图解释清楚“贝克莱鬼魂”问题而慢慢发展来的，后边又经过 Weierstrass 的严格化而形成现在教材上的内容。在我们国家的教材上，包括高等数学和数学分析，绝大多数都是采用线性主部的思想来讲解微积分原理的。你所看的这本书也是采用这种方式。
这种思想可以简单写为：
首先定义导数为
其中，函数增量
。函数增量可以表示为
其中
是与
无关的常量。
定义函数增量关于
的线性部分为函数的微分
，最后写出函数微分的定义为
，
为函数的导数
。
在整个定义过程中，核心是给出
，这样一切就顺理成章了。那导数自然就是
和
两者相除了，但是问题的关键就在于
为什么就成立了。笔者做过不完全统计，国内得高数教材或数分教材上大概可分为如下几类：
1.直接定义
。可参见张筑生主编，北京大学出版社出版的《数学分析新讲》；
2.由
推出
。可参见华东师范大学数学系主编，高等教育出版社出版的《数学分析第三版·上册》；
3.由
得出
。可参见哈尔滨工业大学数学系分析教研室主编，高等教育出版社出版的《工科数学分析（第五版）》；
4.当
时
。可参见陈纪修等主编，高等教育出版社出版的《数学分析》。
如果想要解释清楚这些定义，或者说与已知的结果不产生矛盾，就必须严格区分自变量的微分和因变量的微分，不然一定无法解释
作为中间变量时
与
不相等的问题。现在有些观点认为不存在这种情况，即
永远作为自变量出现，实在想不清楚复合函数求导和参数形式求导是如何做到的。而严格区分之后就会变得极为繁琐，以致于导数无法正常使用，这也就是为什么很多教材中定义了微分，也没有使用的原因。而又有一些书里也使用了微分，基本基于证明了微分的一阶形式不变形（是在严格区分自变量微分和因变量微分的意义下），然后就不在区分而去使用，这也不能让人理解。
取消微分的思想
这类想法是很简单的，既然微分这件事情说不清楚，那我干脆就不要了。我注意到，答主 gwb 就是这一思想的拥护者，他说的很对，即使没有微分，只使用导数，就可以将微积分原理简化为求导数和原函数了，而且丝毫不影响链式法则、隐函数求导、反函数求导、换元积分法、牛莱公式的理解，同时避免了很多问题的出现。
对于这种说法，我只能说“削足适履”！说不清楚就不要了吗？那微分就不能用了呗，因为在数学上没有解释清楚，所以只能用导数的方法来解决问题。好，即使数学界认可了，不再使用微分。那搞工科的和搞物理的人会认可吗？这么好用的微分方法（解微分方程），就因为你解释不清楚就不用了，但是人家用实践证明了其正确性，凭什么你说不能用就不用了。
而对于“微分概念，到微分流形里去学就行了”这一说法，我不清楚想说明什么？是说微分只能是学了微分流形的人才配知道吗？那又有多少人会学呢？搞工科的人就不能知道了？就算到了微分流形中，那也是抽象的在谈，又有谁可以说清楚微分的本质呢？
映射的思想或微分几何中的思想
使用映射思想来解释微积分原理，这相当于微分几何中外微分定义的一元形式。在国内，北京大学陈天权教授的《数学分析》中就是采用这种映射的定义方式。如果不想翻书，可以看一下答主芋圆公式写的回答，正如他所说，可以用
和
进行形式上的推导，但究其本质而言，是无法理解的。在个人看来，这不能算是合格的原理解释。
结语
上面所说的内容就是各种微分的定义，希望你能有所了解。其实也可以想象，如果线性主部的定义方式无懈可击，为什么会出现这么多定义方式，而且还去试图去掉微分或者采用很难理解的映射定义呢？其实，现行微积分体系中，通过极限定义的导数才是真正的核心，微分只是多余的东西，不定积分是导数的原函数，定积分是通过分割求和取极限定义的，这和微分没有任何关系。你们老师说的是对的，在现行的微积分体系中，导数确实不能写成微分相除的形式，
要么作为一个整体，表示导数，要么干脆就别要了。但从另一方面说，微分是至关重要的，它在很多领域发挥作用，诸如求解微分方程，分析力学等，如果可以解释清楚
的本质是什么，恢复 Leibniz 意义的微积分原理，那么导数就可以写成微商了，一切都变得好理解起来了。希望这一天早点到来。
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