十七世纪，整个科学界最重要的课题就是研究物理学尤其是天文学，微积分的概念也是由此诞生的。

当然，当时研究物理学可不是为了像现在高中生一样，去计算万能小滑块的各种运动数值。

当时的宗教普遍认为上帝处于“天堂”，通俗点说就是人类头顶的灿烂星辰中。

牛顿墓志铭上刻着的是：“Nature and nature's laws lay hid in night; God said "Let Newton be" and all was light.”（自然的法则隐藏在黑暗之中。上帝说：让牛顿出世吧，于是一切豁然开朗），这种站在时代顶端的科学家都对上帝如此之信仰，其余人的信仰也大致可以想象。

出于对上帝无比虔诚的信仰，牛顿决心用自己的智慧找出上帝在设计宇宙时留下的密码，所以他写出了《自然哲学的数学原理》等一大堆牛逼闪闪的著作。

在当时，“地心说”和“日心说”是当时吵的火热的两派，为什么会有地心说呢？因为当时的人觉得根据圣经，人类被上帝创造，被派管理万物，那自然所有一切都是围着人类转的，也包括日月星。

因此到底是太阳围着地球转、还是地球围着太阳转，这个问题很重要，决定着圣经和科学哪个更正确。牛顿对此也很感兴趣，因为他认为上帝无所不能，拥有绝对的统治权，创造了万物并制定了让宇宙运转的法则，所以他也想证明自己得到了上帝的奥秘。

那要怎么证明你的观点是对的呢？很简单，去准确预测行星的运行轨迹。

因为假如你的想法是对的，那么说明你通过自己的智慧找到了上帝在设计宇宙时留下的密码，你自然可以准确无误的预测天体的运动。反之，则说明你还没有参悟上帝的奥秘。

其中有一个人日心说学家叫开普勒，他以第谷的天文观测数据为基础，归纳总结出了开普勒三定律，第二条定律为：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

那这个扫过的面积该如何计算呢？就必须拥有一定的微积分知识了。

此外，当时还有许多亟待解决科学问题，都从不同程度上促进了微积分的产生。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。^[1]

围绕着解决上述四个核心的科学问题，微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。

实际上，在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。

例如天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。），还有法国数学家笛卡尔的代数方法，法国大数学家费马在求曲线的切线及函数的极值方面的贡献等，都对于微积分的雏形的形成影响深远。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

1665 年，牛顿发明正流数术（微分），次年发明反流数术。

之后将流数术总结一起，写出了《流数简述》，这标志着微积分的诞生。

牛顿在 1671 年写了《流数术和无穷级数》，这本书直到 1736 年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。在牛顿创立微积分后期，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合，不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成，而认为它是由几何元素经过连续运动生成的，不再认为流数是两个实无限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最后比，这就从原先的实无限小量观点进到量的无限分割过程即潜无限观点上去。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）

同一时期，德国数学家莱布尼茨也独立创立了微积分学。

1684 年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686 年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫，符号的发明使得微积分的表达更加简便。此外他还发现了求高级导数的莱布尼茨公式，还有牛顿莱布尼茨公式，将微分与积分运算联系在一起，他在微积分方面的贡献与牛顿旗鼓相当。

莱布尼茨所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的

微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，对 18 世纪的数学产生了重要而深远的影响。

但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，虽然这在初创时期几乎是不可避免的。由于早期微积分学的建立的不严谨性，许多不安分子就找漏洞攻击微积分学，其中最著名的是英国主教贝克莱针对求导过程中的无穷小（Δx 既是 0，又不是 0）展开对微积分学的进攻，由此第二次数学危机便拉开了序幕。

1734 年，大主教贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。

在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x²的导数，先将取一个不为 0 的增量Δx，由(x + Δx)² − x²，得到 2xΔx + (Δx)² ，后再被Δx 除，得到 2x + Δx，最后突然令Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。

因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。

数学史上把贝克莱的问题称之为「贝克莱悖论」。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为 0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是 0，又不是 0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这个悖论就是造成第二次数学危机的主要论题之一。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是法国数学家达朗贝尔。他在 1754 年指出，必须用更可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了 19 世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家波尔查诺，他曾著有《无穷的悖论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。分析学的奠基人，法国数学家柯西在 1821—1823 年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义，建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋近于 0 的变量，从而结束了百年的争论，并定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性（与布尔查诺同期进行）。

对分析基础做更深一步的理解的要求发生在 1874 年。那时的德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。后续又有人发现了处处不连续但处处可积的函数，使人们重新认识了连续与可微可积的关系，他在连续闭区间内提出了第一、第二定理，并引进了极限的ε～δ定义，基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的极限中得到了“解放”，从而驱散了 17——18 世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。

后来，黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为黎曼积分。

至此，整个微积分学的理论和方法完全建立在牢固的基础上，基本上形成了一个完整的体系。

19 世纪末，在对微积分学中一些基本概念及其关系的深入研究，以及许多拥有奇特函数性质的病态函数，打破了对原有数学分析基本概念完美的设想，促使人们研究一般点集上的函数，并推广导数和积分的概念。开始实变函数论与微积分学交织在一起，1902 年，勒贝格提出了新的积分理论，成为古典分析过渡到现代分析的转折点。因此，实变函数是微积分学的发展与提高，它又是现代分析的基础与起源，在分析数学中居于承上启下的地位。

在微分与积分这两大分析运算的关系方面，实变函数论不同于微积分学，它以测度论、集合论作为工具，建立了不同于黎曼积分的勒贝格积分框架，推广了积分的应用。

在黎曼将柯西的积分含义扩展之后，勒贝格又引进了测度的概念，进一步将黎曼积分的含义扩展。例如著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积，而在勒贝格积分下便可积。

下面简单介绍下勒贝格积分，请看图：

蓝色：黎曼积分 / 类黎曼积分

红色：勒贝格积分

黎曼积分首先将一个函数的定义域分割成小区间，宽度为

，然后用这些区间的函数在这些区间上的值

作为矩阵的高，然后将所有这些矩形的面积

相加。这个积分是当矩形的宽度缩小到 0 时这个和的极限。

Lebesgue 积分也是相似的，但是它涉及到切分一个函数的范围，而不是其域。可以说，勒贝格积分基本上是一个侧面的黎曼积分。

积分的直观含义是它给出了某个区域内函数的总量，它是求和的连续模拟。

Riemann 和 Lebesgue 积分均以一定的极限值来计算曲线下的面积，该极限会填充越来越多的空间，最后求各极限面积做加和来作为积分的结果。

如果可以通过与该求和函数紧密匹配的矩形区域的限制，来找到该函数的积分部分，则该函数为 Riemann 可积。这是一系列接近它的阶跃函数，其中阶跃函数的每个部分都是该区间内某处函数的评估值，或区间最大值。

如果我们可以通过使用收敛到该求和函数的简单函数序列的极限，来找到函数的积分，则该函数是 Lebesgue 可积的。

此外，Riemann 积分仅在变量间隔上定义，而 Lebesgue 积分在任何量度空间中定义，看起来定义的更宽泛一些，也就是说理论上如果

是 Riemann 可积函数，则一定是 Lebesgue 可积函数。

微积分对于物理学的意义极大，例如，我们都知道，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，但是因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是 0 ，而 0/0 是无意义的，这就要靠微积分来解决。此外，由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向，这也要靠微积分来解决。

此后，实变函数论和泛论分析也开始与微积分等学科相互交叉与渗透。

到此，整个微积分历程得到了前所未有的发展，微积分的诞生对于近代数学和物理学的发展起到了决定性的作用。

可以说，微积分是近现代科学的开端。