2023 是质数吗?


毫无疑问,2023 是一个非常有意思的数。

首先, 2023 显然不是质数,判断仅需 1 秒。最快的判别方法是:先把 2023 按照千分位分割,分为 2 和 023,然后相减,23 - 2 = 21, 21 是 7 的倍数,所以 2023 是 7 的倍数。

这种「每 3 位一分割,然后隔项求和,再相减」的判断方式,适用于判断所有 7,11, 13 的倍数。

证明也很容易:注意到 1001 = 7 × 11 × 13, 所以 1000a 和 -a 关于 7,11,13 同余。

比较有意思的是,2023 不仅不是质数,甚至都没有 20 以上的质因数。

我们将 2023 分解质因数,得到 2023 = 7 × 17 × 17

容易发现,2023 的数字和恰好是 7,而其数字的平方和恰好是 17。

这就有点意思了。请看:

一个数的「数字和以及「数字的平方和都是它的约数,这样的数常见吗?

其实还蛮常见啦,这样的四位数就有 68 个,下一个满足条件的数是 2040;

如果要求这两个数都是质数呢?

稍微罕见一些了,这样的四位数共有 10 个,下一个是 2100,但再下一个就是 8030 了。

更进一步地,如果一个数「数字和」是最小的质因数,「数字的平方和」是最大的质因数,这样的数多吗?

这就很罕见了,四位数仅此 1 个,五位数没有,下一个满足条件的数要到 106811 了;

花 5 分钟验证下,我们发现 1 亿以下满足条件的数似乎只有 28 个:

133, 803, 2023, 106811, 383177, 1071949, 1342027, 2025343, 2569757, 2911123, 3341831, 3993883, 6285901, 10860071, 11194319, 13270013, 21736109, 21871477, 22159451, 22421587, 26011229, 27600257, 31174391, 32656681, 34880611, 40435193, 41755573, 53738911

能不能再给力点:如果一个数的质因数仅有其「数字和」及「数字的平方和」,这样的数常见吗?

非常罕见,我心算了下,只发现了 4 个:

  • 133 = 7 × 19,数字和是 7 ,数字的平方和是 19
  • 803 = 11 × 73 ,数字和是 11 ,数字的平方和是 73;
  • 2023 = 7 × 17 × 17,数字和是 7 ,数字的平方和是 17;
  • 6285901 = 31 × 31 × 31 × 211,数字和是 31 ,数字的平方和是 211;

剩下的心算不动了,我只好调用 python,在 10^30 以内,一共有 17 个:

133, 803, 2023, 6285901, 150533923, 4541519347, 4672989447913, 73699768202743, 6201280122491203, 781110572405633563, 1219636365296013079, 12165759651238626341, 22188359846850884583101, 100670311682210459233003, 10944226672701046457066569, 698236155982099756399641113, 775829043881419596371444129
  • 150533923 = 31^4 * 163
  • 4541519347 = 43^3 * 239^2
  • 4672989447913 = 73 * 503^4
  • 73699768202743 = 73^6 * 487
  • 6201280122491203 = 43 * 229^6
  • 781110572405633563 = 67^7 * 359^2
  • 1219636365296013079 = 79 * 499^6
  • 12165759651238626341 = 83^3 * 463^5
  • 22188359846850884583101 = 107^4 * 701^5
  • 100670311682210459233003 = 67^7 * 359^4
  • 10944226672701046457066569 = 109^4 * 653^6
  • 698236155982099756399641113 = 137^7 * 937^4
  • 775829043881419596371444129 = 131^3 * 859^7
    ……

密度低于 lg(n),可以说是非常非常稀有了!

谁说 2023 很普通!

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