这是一个有难度的问题,至少对于高中生来说很难理解
我们知道三角函数本质上就是指数函数,而指数函数的定义是
我们需要证明这是一个良定义的记号,也就是说:对任意
,级数
都是收敛的
证明:对任意给定
,设
,则有
,显然存在正整数
,使得
时恒有
(严格来说为什么指数函数的量级小于阶乘函数是需要证明的,但是这由高中数学的知识,简单放缩即可说明)
而
是收敛的级数,从而级数
绝对收敛,故收敛(绝对收敛蕴含收敛是柯西收敛准则的直接推论,如果你不熟悉,那么请自行补充一下基础知识)
这里可能有小伙伴产生了疑问:上面的
表示的是复数
的模长,并非绝对值呀,怎么还能说“绝对收敛”呢?其实这并没有任何问题,因为
定义:对于非空集合
,若
满足条件
1.
,且
2.对任意
均有
(三角不等式)
则称
是
两点间的距离,
按照距离
成为度量空间,记为
定义:给定度量空间
,若
中的点列
满足:对任意
,存在正整数
,使得任意
都有
,则称
为柯西列。
定义:若度量空间
中每个柯西列都收敛,则称
为完备的度量空间。
定理(柯西收敛准则):在完备的度量空间中,点列 收敛,当且仅当
为柯西列。
显然
是完备的度量空间,因而成立柯西收敛准则:级数
收敛,当且仅当
,这样,由绝对收敛,结合三角不等式,就能推出收敛。
然后是三角函数的定义:
我们将要证明:
在此之前还需要做一些准备工作,我们要借助指数函数的一个性质:
(这并非天经地义成立,不需证明的事实!)
为此我们还需要一个引理:
定理:设 均为绝对收敛的复数级数,
是
的一个重排,则不论如何重排,均有级数
收敛且成立
,特别地,此时成立
。
证明:较繁琐,可以参考任何一本数学分析教材,此处省略(主要因为学过数分的人都知道这个定理应该如何证,而没学过数分的同学,我即便在这里写了你们也没有耐心去看的,因为太啰嗦了)。
回到原题,前面已经证明了
是绝对收敛的复数级数,因而有
这其中化简时运用了二项式定理:对正整数
成立
,其中
为组合数。
现在距离我们的目标还差最后一个细节——
是多少?很简单,代入
即可(注:在指数函数的定义中,便约定了
)
好了,准备工作已经全部到位,现在来证明题主想要的恒等式吧
可见
这个大家无时无刻都在使用的恒等式一点也不平凡!并且其证明过程也是较为复杂的。因而,作为中学生,想要真正理解其证明过程,还是太困难了。