洛必达法则为何成为禁术?(洛必达法则的误区)


洛必达法则当然你在大学阶段可以使用。但是只要有水平的出题老师,可以做到让你在大学考试的时候不想用洛必达法则,逼迫你去使用其他的方法求解。

我个人并不反对使用洛必达,甚至非常建议在求极限已经化简比较简单的时候,使用洛必达法则。

一、使用洛必达法则的一些建议

  1. 基本上大的工作已经处理完毕(使用等价无穷小、泰勒展开、加减凑项、确定项代值)后,发现用其他办法不如洛必达稳定。
  2. 本身就是比较简单的极限问题,并且求导你很有把握。(大学老师如果禁止你使用洛必达法则,多半有可能是题目太简单了,用洛必达法则可以很稳求解出来)
  3. 慎重考虑)发现其他方法并不好做,并且在确定已经有足够的时间下,使用洛必达法则,暴力计算出来。

二、为什么我们通常不使用洛必达法则

  1. 求极限的方法有多种多样,绝大多数问题都可以通过等价替代、泰勒展开、加减凑项、幂指代换等搞定。
  2. 我们经常高估了我们的计算能力,很多函数求导本身过分就很复杂,求导之后的结构更加复杂,见例题 1
  3. 但是有一些题目,虽然求导很复杂,但是我们可以保留求导符号使用洛必达法则,见例题 3
  4. 有时候判断极限是否是 0/0 型和 型也不容易,一旦判断错误,这道题直接就错了。
  5. 有一些题目,使用洛必达法则,会有着意想不到的效果,见例题 2

三、与洛必达法则有关经典极限例题(选自专栏微积分每日一题)

微积分每日一题

例题 1:不适合使用洛必达法则

比如这道看上去很简单的问题,你可以看出几种方法进行对比,洛必达法则相比而言是比较复杂的:

不适合使用拉格朗日中值定理的例题

例题 2:非常适合使用洛必达法则

这道题应该来说是一道知乎名题,使用洛必达法则可能是最容易的求解方法了:

适合使用洛必达法则的例题

例题 3:适合使用洛必达法则,但是不需要把求导结果展开

比如这一道题的解法 2,就是一个洛必达法则的妙用,但是我们需要有强大的功底,知道这样使用洛必达法则也是可以的,铺垫见紫色文字:

适合使用洛必达法则,但是我们不需要把求导结果展开的例题

例题 4:适合使用洛必达法则,但需要联合其他技巧

这道题虽然洛必达法则不是最重要的求解技巧,但是在拉格朗日中值定理处理完极限之后,还是要考察求导的基本功(洛必达法则)了:

适合使用洛必达法则,但需要联合其他技巧的例题

例题 5:非常适合使用洛必达法则的极限题

这道题我采用了两种方法求解,第一种方法巧妙地将极限写成多个乘积极限的形式,并对每个极限采用洛必达法则,得到极限后,利用极限四则运算法则即可得到答案。如果采用换元技巧,则难度上大得多了:

非常适合使用洛必达法则的极限题

四、与洛必达法则有关的证明题例题 1:中间过程运用洛必达得到题目暗示结构

这道题洛必达法则起到了中间过程的作用,目的是求构造函数的导数从而得到题意中的结构:

洛必达法则作为证明题的中间过程

例题 2:先利用洛必达法则一次后,再利用其他手段求解

这道题先利用洛必达法则一次之后,再利用其他手段巧妙进行求解。本质上这是因为我们对 3 阶的无穷小量更加熟悉了:

先利用洛必达法则一次后,再利用其他手段求解

五、含有变限积分的极限问题

很多含有变限积分的极限问题,第一步往往需要洛必达法则打开变限积分(复杂的问题往往需要先换元简化被积函数),之后再利用其他的办法求解。

下面是一些变限积分收录的问题,可以阅读与洛必达法则相关的问题:

MathHub:变限积分类问题习题荟萃 -- 微积分每日一题特别版


看完这些之后,你是否对洛必达法则有了一定新的认识呢?

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