张量就是物理量，与张量相关的数学是对高维 (维数 ≥ 2) 的物理量进行 “量纲分析” 的一种工具。同一个物理量可以由不同的向量 / 矩阵表示出来，这是由线性空间（通常是流形的切空间）的对称性决定的。
先发一个微信里看到的雷人数学题，这个其实对于理解张量分析很有帮助。
某同学为了证明钱缩水，做了一道题，把数学老师逼疯了！高级数学题：
求证：1 元=1 分
解：因为 1 元=100 分
=10 分×10 分
=1 角 ×1 角
=0.1 元×0.1 元
=0.01 元
=1 分
证明完毕。
数学老师哭了！
因为，毫无破绽。
稀里糊涂地钱就没了… 正如现在的社会！
其实破绽很明显——100 分并不是 10 分 *10 分，100 分是 10 分 *10，而 10 分 * 10 分是 100 分^2, 所以最后应该得到 0.01 元^2, 而 1 元^2 = 10000 分^2，所以 0.01 元^2 就是 100 分^2。（如果觉得元和分这些单位有点抽象的话，不妨把元和分换成米和厘米，用长度和面积来理解一下，我们显然不会说 1 米 = 100 厘米 = 100 平方厘米，前者是长度，后者是面积，根本不是一回事）
这里的核心问题是，100 分^2 和 100 分根本不是一个线性空间里的量，不能简单等同起来，要等同起来，必须选定一个同构。说具体点就是，如果
是一分钱生成的自由
- 模，也就是说，
是 “金额的实数轴”，这是一个
上的一维线性空间。则 100 分^2 所在的空间是
，
和
都是一维线性空间，所以可以选取一个同构把 1 分映到 1 分^2. 但是这个映射并不把 1 元映到 1 元^2, 而是把 1 元映到 0.01 元^2, (1 元 = 100 分
100 分^2 = 0.01 元^2) 所以反过来的时候，0.01 元^2 自然对应回了 1 元…… 所以并没有矛盾。
现在来解释开头那句话（张量就是物理量，与张量相关的数学是对高维 (维数 ≥ 2) 的物理量进行 “量纲分析” 的一种工具）。
1. 什么是数? 什么是量?
这是两千五六百年前希腊先贤讨论的问题之一（好像是 Miletus 的泰勒斯，欢迎指正）。最笨的解答是：量是有单位的，数没有。这个解答其实很有道理。1, 2, 3, 3.14, π, 这样的叫 “数”，5 米，五块钱，500 厘米，这样的叫量。数字上 5 ≠ 500, 但是 5 米和 500 厘米对应的物理量是一样的，这个物理量，就是 “空间中的某一段距离”，这个距离，即使对完全不理解人类语言的生物，也是实实在在的。而无量纲的数字，通常是一个物理量的比值，比如五公里里面的 5，是五公里对应的长度和公里这个单位长度的比值。
2. 如何描述速度这个物理量?
说 “速度” 是一个物理量，应该没人会反对。两个小学生，没有卷尺和秒表，也可以通过赛跑来比较自己的速度。观看赛马比赛的时候，不同马匹在同一时刻有不同的速度，这很容易察觉。但是日常生活中，通常速度被用一个数字表示，比如 72 km/h, 或者 20m/s. 熟悉这两个单位的人应该能看出，72 km/h 和 20m/s 是同一个物理量，他也可以用 72000m/h, 或者 65.6168 ft/s (英尺 / 秒)。如何不依赖于上面这些单位的选取，来描述 “速度” 这个概念呢？
有人可能会说，这个简单，距离这个概念，是个物理量，时间这个概念，也是个物理量，要抛开单位谈速度（也就是给出速度的一个内蕴的定义），只需要把它定义成距离的变化量 Δs 和时间差 Δt 的比值，在 Δt → 0 的时候的极限。也就是说，如大家熟悉的，
. 对这个公式，也许你会说，不就是求导么。新的问题来了，没有选取单位，
都不是一个 “函数”（换句话说，
并不把数值映射到数值，只是把物理量映射到物理量），如何 “求导” 呢。只好用一个格调稍微高点的说法，
是时间轴到空间轴的一个映射，这里时间轴和空间轴都是两个一维流形，未选取任何坐标系。而
其实是
的切空间到
的切空间的一个线性变换。一维线性空间之间的线性变换，只要选定了 “单位”，就可以用一个数字来表示，所以大家一般不这么说。但是，明确了速度这个物理量，其实是一个一维空间之间的线性变换这一点，其实对理解它的数值表示，很有帮助。比如 72 km/h 这个量，他的数值表示是 72. 如果把时间的单位换成 s (秒) —— 在时间轴的切空间上换了个坐标系 —— 而新旧坐标系之间的关系是，1h = 3600s，则新的数值表示，变成了 72/3600 = 0.02. 新的数值 0.02 表示同一个物理量，只不过单位是 km/s 而已。类似地，空间轴如果换个坐标系，比如把千米变成米，也会得到一个新的数值来表示同一个物理量，数值是 20，实际上是 20 m/s.
上述内容在一维的情形怎么说都像是抽象的废话。但是核心在于不同的数值可以表示同一个物理量。高维的情形就没那么平凡了。但是说穿了也很简单，不同的向量可以表示同一个物理量。一维的情形，不同的数值之间只差一个倍数，所以很平凡。高维的情形，不同的向量之间差的就是（切空间上的）线性变换，所以没有那么平凡。[这里还想话痨几句，但是有点跑题，参见末尾的 P.S.]
回头来看看三维空间中的 “速度” 这个概念，有助于加深理解。三维空间中的速度，也是一个物理量，选定了坐标系和单位，也可以用三个数字来表示。但是日常生活中我们基本不会说，我的速度是 (3, 5, 7). 因为没有简单的选取坐标系的办法。同样地，在物理上，经常遇到需要变换坐标系的情形（因为任何坐标系的选取都是人为的，没有哪个坐标系更好）。
比如（三维）流形
上的一个点，选定了局部坐标系，就对应于三个数，换个坐标系，就得到另外三个数，这之间只相差一个坐标变换。如果有映射
, 对应于 “运动”，就可以讨论 “速度” 这个概念。
处的速度是什么呢? 作为一个物理量，它当然不是三个数字，而是切空间的映射
, 这里
是有现成的坐标的（读者不妨想想是啥），所以
就由切空间
中的一个向量给出，到这里还是一个抽象的向量，只有选了坐标系，才变成三个数（坐标值），而这三个数，是依赖于坐标选取的。所以切空间里的一个向量（“速度”），要用三个数
表示的话，其实包含了很多额外的 data:
，后面这个
就是坐标的选取。换一组坐标（也就是替代掉
）的话，这三个数字也会跟着变，这就是最基本的张量分析了。
3. 更复杂的物理量怎么表示?
有些物理量，并不简单地生活在切空间中，而是切空间上的线性变换，或者二次型（比如转动惯量，比如动能），或者落在切空间的对偶空间中，这种时候就考验线性代数的水平了。不用坐标系理解一个概念的能力越强，越容易理解张量。
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P.S. 上面说到不同的向量可以表示同一个物理量。更复杂的情形，就是高阶张量，比如切空间上的二次型，抽象地看是二次型，具体写出来是对称矩阵，变换起来用
之类的操作。之所以用这些变换了操作，也是因为不同的对称矩阵可以表示同一个物理量。
个人感受：很多时候一些人之所以不能理解张量，就是因为脑子里默默地做了一些等同 (identification), 比如把线性变换和矩阵当做同一个东西，而没有理解抽象的线性变换的概念。实际上不在 source 和 target 中选取一组基的话，一个抽象的线性变换是没有矩阵的。同理很多人不能理解没有选取坐标的一维流形，一想象脑子里就是数轴或者单位圆。忘掉坐标，想象一个抽象的 underlying manifold, 也是一种能力。
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