欧拉公式,复数域的成人礼(欧拉公式高阶维度变换)


之前在“复数,通往真理的最短路径”中说过,复数域其实就是二维的数域,提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看,我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂,也就是

两个任意实数,外加虚数

,把它们结合在一起,就完成了:

但数域的扩张从来没有这么简单,就好像夫妻生下小孩只是个开始,困难的是之后的抚养、教育:

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬:

我介绍数学分析的时候,它还是个孩子,而你正在将它带大成人。---- 约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分(数学分析)的,但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼:

1 数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张,我都有种大爆炸的画面感,宇宙从一个奇点爆炸中产生:

1.1 自然数到整数

数学刚开始也是一片空白:

0 的出现就是数学的奇点:

根据皮亚诺定理(可以参考为什么 1+1=2?)“爆炸”出了自然数域(可以参考自然数是否包含 0?):

很显然上面的图像是不对称的,哪怕出于美学考虑,人们都有冲动把左边补齐,增加负数,这样就得到了整数域:

添加负数之后,有一个问题就出现了:

我们知道

是对

的缩写,并且容易推出如下计算规则:

我们添加负数之后,希望这个规则依然适用,即:

更一般的有:

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义,如果说正数次方是对乘法的缩写,那么负数次方(正数的相反数)是对除法(乘法的逆运算)的缩写:

1.2 整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙,我们可以用有理数(rational number,翻译为“可比数”更合理):

来填满这些空隙(示意图):

还有空隙,最终用无理数(irrational number,“不可比数”)来填满这些缝隙,得到实数轴:

自然会有这么一个问题:

是无理数,上面这个问题需要用极限来回答,这里不再赘述,只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

2 复数基础

往下面讲之前,稍微复习下复数的一些基础知识。如果比较了解复数的运算法则了,可以跳到第三节去阅读。

2.1 复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数,通往真理的最短路径”说过,形如:

的三次方程,卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解:

如果

,可以得到方程:

从图像上看,

有三个交点的:

套用通解会得到:

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利(1526-1572),文艺复兴时期欧洲著名的工程师,给出了一个思维飞跃,指出如果复数遵循如下的计算规则:

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

2.2 复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解,先引入几个符号,对于一般的向量

有:

复数的几何表示和二维向量有点类似,只是横坐标是实轴(

),纵坐标是虚轴(

),下图还把刚才的符号给标了出来:

加法的几何意义和向量也一样:

但向量没有乘法(点积、叉积和实数乘法不一样),这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展,所以要尽量兼容实数,必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则,计算可得:

画出来发现,两者是正交的:

还可以从另外一个角度来理解这一点,

在复平面上是这样的:

那么,

乘以虚数

,就是:

对于一般的向量

,也符合这个规律:

好了,知道这些差不多了,开始正题。

3 复数域的扩张

好了,轮到复数域了,复数定义为:

那么,来回答数域扩张都会问到的问题吧:

这个问题可以用欧拉公式:

来回答,取

,可得:

画出来就是复平面上模长为 1,幅角也为 1 的点:

更一般的,欧拉公式说明,

是单位圆上幅角为

的点:

但是,欧拉公式

长这个样子!

3.1

的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的,先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的

函数,起码有三种定义方式:

  • 极限的方式:

  • 泰勒公式的方式:

  • 导数的方式:

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式

因为:

我们可以大胆地令

那么之前的

就等于:

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为

对应的是单位圆上幅角为

的点,所以先给个参照物,虚线是单位圆,实线对应的幅角为

然后取

,可以得到:

根据复数的乘法规则,可以看出:

,已经很接近单位圆上幅角为 1 的点了:

对于更一般的

也是同样的:

时,就很接近单位圆上幅角为

的点了:

可以证明当

时,

为单位圆上幅角为

的点,也就是得到了欧拉公式:

可能你还会问,直接替换

,合理吗:

这里是理解欧拉公式的

,我们要意识到一点,欧拉公式是一种人为的选择,完全可以不这么去定义

。但是,做了别的选择,会面临一个问题:会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾?

打个比方吧,在实数中“除以

”是不合理的,假如你想让它变得合理,那么分分钟会导出矛盾:

欧拉公式并不会引发冲突,并且随着学习的深入,你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择,这里就不赘述了。

3.1.2 泰勒公式的方式

实数域下,有这些泰勒公式:

也是直接替换

,令

有:

这也有漂亮的几何意义,看看

的前三项:

这是三个复数相加,加出来就是:

再增加第四项

随着

,仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为

的点。对于更一般的

也是类似的螺旋:

3.1.3 导数的方式

实数域有;

直接套用:

假设

是时间,那么

是运动在复平面上的点的位移函数,

时位置为

的运动速度,也就是导数

。这个速度很显然是一个向量,有方向,也有速度。它的方向垂直于

(根据乘法规则,乘以

表示旋转

):

并且不论

等于多少,运动方向都垂直于位移,所以只能在单位圆上运动(圆的切线始终垂直于半径):

而速度的大小就是速度的模长

。之前说了,对于两个复数

,它们的模长为

,那么:

肯定等于 1 了,

在单位圆上运动,所以模长也为 1,所以速度的大小为:

速度大小为 1 意味着

时刻走了

长度的路程。而

在单位圆上运动,那么

时刻运动了

弧长,因为是单位圆,所以对应的幅角为

4 总结

有了欧拉公式之后,任何复数都可以表示为:

其中:

个人觉得

只是复数的初始形态,而

才是复数的完成形态,因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候:

那么有:

几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算:

到此为止,基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数,也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

欧拉公式中,如果取

,就得到了欧拉恒等式:

这个公式也被誉为了上帝公式,包含了数学中最基本的

,仿佛一句诗,道尽了数学的美好。

最新版本(可能有后继更新):欧拉公式,复数域的成人礼

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