如何快速理解永磁同步电机？(永磁同步电机数学模型理解)_网络百科

一、电和磁到底有没有关系？——奥斯特：电流的磁效应
二、电如何产生磁？——安培定律
三、磁如何产生电？——法拉第电磁感应定律
四、什么是 B-H 曲线
五、什么是永磁同步电机
    5.1 电机原理的通俗理解
    5.2 电机的数学模型
        5.2.1 磁链方程
        5.2.2 电压方程
        5.2.3 力矩方程
    5.3  DQ 坐标系下三大方程
六、什么是电压极限圆和电流极限(椭)圆
七、旋转磁场是如何产生的

工程问题本质上是解决两个“流”的问题，一个是“信息流”，另一个是“动力流”。我们前面说到的自动控制，信号处理其实都属于“信息流”的范畴，解决的是大脑和神经的问题，而“动力流”，则是要解决肌肉问题。只有两个“流”处理好了，才能做出一个成功的工程。今天，我们就来说一说“动力流”的核心部件之一——电机。

电机（Electrical Machine）本质是一个能量转换装置（电能和机械能互换），包括电动机和发电机。工业中电动机更常见一些，因此狭义的电机通常是指电动机。

Source: Wikipediahttps://www.zhihu.com/video/1030261839673794560

上图展示的就是一个简易的电机，是由一节电池、一个螺钉、一根导线和一块磁铁以及扇叶组成，聪明的你能不能想明白扇叶为啥能转起来？（有好奇心的到后面找答案哦！）

上面的电机中，我们用到了一种叫电磁铁的东西，也就俗称的吸铁石，它是自然界中天然磁化的石头，这种石头可以魔术般的吸起小块的铁片，而且在随意摆动后总是指向同一方向。最早发现及使用磁铁的是中国人，并且利用磁铁制作了“指南针”，是中国四大发明之一。

那磁铁和永磁电机有什么关系呢？——永磁电机就是利用磁铁制作的电机，只不过磁铁这个名字不够高大上，专业术语一般叫“永磁体”。电现象和磁现象人类早就已经了解，但是直到 19 世纪，电学和磁学的研究仍处于很基础的阶段，而且绝大多数物理学家都认为电和磁是两种完全不同的现象。第一次工业革命后期，电磁学才逐渐合体并开始蓬勃发展起来，并催生了第二次工业革命——电力革命，这其中贡献最大的有这么几个人：奥斯特、安培以、法拉第以及高斯等，他们最重要的的工作都完成于 1820 年至 1831 年，最后由开了挂的麦克斯韦进行了总结并提出了完整的电磁理论。电机的基本理论和工程实现基本都是在这一时期成型的，因此要想学习电机，了解基本的电磁理论发展过程是非常有必要的。

一、电和磁到底有没有关系？——奥斯特：电流的磁效应

19 世纪以前，人们一直以为电与磁势完全不同的现象，没有什么联系，虽然有一些零星的物理现象暗示它们之间似乎有一些说不清道不明的关系。直到 1820 年 7 月，丹麦的物理学家奥斯特（H.C.Oersted，1777-1851）发表了一篇文章《关于磁针上电流碰撞的实验》，向科学界宣布了电流的磁效应——电和磁其实是一对 CP。

奥斯特的论文起源于一个很偶然的实验——在电池的两极之间接上一根很细的铂丝，在铂丝的下方放置一枚磁针，然后接通电源，很正常的操作，貌似没什么，但是现象却很令人吃惊——小磁针转动了，一直转到铂丝垂直的方向，改变电流方向，又发现小磁针向相反方向偏转。

Demonstrated by Prof. Oliver Zhttps://www.zhihu.com/video/1030181914262601728

奥斯特的发现揭示了长期以来认为性质不同的电现象与磁现象之间的联系，电磁学立即进入了一个崭新的发展时期，法拉第后来评价这一发现时说：“它猛然打开了一个科学领域的大门，那里过去是一片漆黑，如今充满光明。”人们为了纪念这位博学多才的科学家，从 1934 年起用“奥斯特”的名字命名磁场强度的单位。

奥斯特可能怎么也没有料到，从 1820 年 7 月发表电流的磁效应的文章后，仅仅经历了四个多月时间，电磁学就经历了从现象的总结到理论的归纳一次大飞跃，从而开创了电动力学的理论。而推动这一发展的，是一个我们非常熟悉的人——安培。

二、电如何产生磁？——安培定律

前面我们说到，能斯特发现了电流的磁效应，这个实验结果强烈震撼到了安培——一个被称之为“电学中牛顿”的大神。安德烈·玛丽·安培（André-Marie Ampère，1775 — 1836）出生于法国里昂，是我们学物理学的最早认识的科学家之一，因为电流的单位就是“安培”。

200 年前的科学界和现在也差不多，那就是一个热点文章发表后，总有一大群人蜂拥上来，发表灌水文章。安培在看到奥斯特的电流的磁效应的文章后，也立马开始了这一热点领域的研究。显然安培不属于灌水的这一类人，因为他不差名气和声望，驱使他前进的，是他对自然规律的好奇心。

安培通做电流做实验，发现长直导线外，到导线距离相等的点，“磁场”大小相同；距离不同的点，“磁场”大小随着距离成反比；“磁场”和电流大小以及导线的根数也成正比。我们不妨用字母

$\vec{H}$

来表示“磁场”的大小，则很容易得到：

$\vec{H} \propto\frac{N\vec{i}}{\vec{r}}$

或者更任性一点，我们可以定义沿半径为

$r$

的圆上，其“磁场”大小为：

$\vec{H}=\frac{Ni}{2\pi \vec{r}}$

当然，安培是不会满足于到此为止的，因为这实在算不上的什么重大发现——那不是圆怎么办，如果是任意曲线呢？——安培伟大的地方在于，他还真的将“圆”扩展到了任意曲线上。

安培定律完整的表述为：在恒定电流的磁场中，磁场强度

$\vec{H}$

沿任何闭合路径

$C$

（即环路积分）的线积分等于其所包围的电流强度的代数和，写成数学的样子就是：

$\oint_C \vec{H}\cdot d\vec{r} = Ni$

这个公式暗含一个结论，那就是磁场是由运动的电荷（即电流）产生的，安培认识到磁现象的本质是电流，把涉及电流、磁体的各种相互作用归结为电流之间的相互作用，提出了寻找电流元相互作用规律的基本问题。因此在电磁学中，把产生磁场的电流也叫磁动势或磁势（Magnetomotive Force），简写为 MMF，注意这是一个非常重要的概念，很多我们熟悉的磁场，都可以应用安培环路定理来计算。

三、磁如何产生电？——法拉第电磁感应定律

法拉第（Michael Faraday，1791-1867），英国的物理学家。法拉第可以说是实验物理学家的代表，一生做了无数次的实验，遍布整个电磁学领域，其中最具代表性的，就是电磁感应定律了：磁通量变化产生感应电动势。

电磁感应定律的定量描述为：线圈中感应的电动势（Electromotive Force），简称 EMF，与每匝线圈中磁通量的变化率以及匝数成正比，写成公式就是：

${e}=-N\frac{d{\phi}}{dt}$

那么，问题就来了——什么是磁通量？其基本定义是：

${\phi}=\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}$

简单来说就是磁通密度乘以面积，面积好理解，那磁通密度是什么？——与电场强度

$\vec{E}$

是由单位点电荷受电场力类似，磁通密度可以根据运动电荷在磁场中所受到的磁场力来定义。实验发现：一个电荷

$q$

以速度

$\vec{v}$

在均匀磁场中运动，会受到电磁力

$\vec{F}$

，这个力和磁场的强弱是成正比的，即：

$\vec{F} = q\vec{v}\times \vec{B}$

这个公式是洛伦兹公式的简化版，也就说，我们可以通过电荷大小、运动速度以及所受到的力来反推周围磁场的大小，这个磁场的大小就是磁通密度，也叫磁感应强度，单位是特斯拉（Tesla）。注意，磁通密度是电机中最重要的概念之一。

插点别的小知识：大家普遍认为，法拉第最牛逼的地方不在于他的实验，因为这些实验即使他不做，别人也能做，他最牛逼的地方在于他提出了“场”概念，这为什么牛逼呢？请看链接：

如何让普通人理解物理学中「场」的本质？

在一定程度上来说，没有法拉第，就没有麦克斯韦方程组——物理规律散落在法拉第大量实验结果里面，大家面面相觑，不知所以。然后麦克斯韦来了，手起刀落，简化到了 20 个方程，然后又由赫维赛德简化至 4 个公式，就是现在的麦克斯韦方程组。这就好比你上了一学期的课程，厚厚的满本书都是知识点，然后来了个牛逼的学霸，给你画了了个重点，一下子就剩几页了，就是这种感觉。对麦克斯韦方程组感兴趣的童鞋，可以阅读这篇文章：

J Pan：你也可以理解“麦克斯韦方程组”

1868 年，一个未曾受到学校教育的 21 岁年轻人在书店闲逛，看到一本破旧的法拉第著作《电学研究集》，如获至宝，将其买回，一一重做书上的实验，然后走上人生巅峰，你知道这位年轻人是谁吗？（来源：物語悟理）

格物致知－愛迪生

四、什么是 B-H 曲线

细心的童鞋会发现一些端倪：

在介绍安培环路定理的时候，我们说电流可以产生磁场，磁场的大小可以用 $\vec{H}$ 来表示：
在介绍法拉第电磁感应定律的时候，我们又说可以通过受力，来计算电荷感受到的磁场 $\vec{B}$ 。

都是磁场，为啥用两个量表示？他们是一回事吗？——首先，可以明确一点，这俩货量纲都不一致，肯定不是一回事。

我们一般把磁场密度

$\vec{B}$

与磁场强度

$\vec{H}$

之间的比值称之为磁导率：

$\mu=\frac{\vec{B}}{\vec{H}}$

磁导率描述的是电荷感受的磁场（输出）与电流产生的磁场（输入）的比值，描述前者随着后者的响应。既然是响应，就会有幅值响应和相位响应，所以本质上，磁导率是一个复数，只不过呢，在电机里面都是工作在低频段，相位滞后很小，可以忽略，一般只看幅值关系。

为什么介质中磁场输入和输出不一样呢？——因为介质有了响应。我们现在设想通过电流

$i$

，把磁场

$\vec{H}$

加到某种材料当中，材料中的带电粒子受到磁场的响应，进而产生了一些附加磁场，在该点处的总磁场不再是

$\vec{H}$

了。受外界磁场影响使得材料里也有内部额外磁场的过程，叫做“磁化”。

简而言之，

$\vec{H}$

是外部的激发场，

$\vec{B}$

是总的响应场，在电机里面，这两个量都非常重要，因为电机就是要考察电压、电流以及力矩之间的关系，而：

电流和 $\vec{H}$ 相关；
力矩和 $\vec{B}$ 相关；

因此，理解

$\vec{H}$

和

$\vec{B}$

的关系，是学习电机的一个非常必要的知识点。

现在假设我们用一个正弦的电流对介质进行磁化，电流（代表

$\vec{H}$

）变化如左下图，得到介质中总的磁场（

$\vec{B}$

）为右下图：

其中，

$B_r$

表示剩余磁通密度（Remanent Flux Density），简称剩磁；

$H_c$

表示矫顽力（Coercive Force），可见

$\vec{B}$

和

$\vec{H}$

并不是一个简单的线性关系，呈现出一个滞环，一般称之为磁滞曲线。

不同的材料代表不同的介质，其磁滞回线也不一样，如下图所示：

有的材料滞环较宽，也就是当励磁电流减为零后，总的磁场 $\vec{B}$ 仍保持在一个较大的值，我们称之为硬磁材料或永磁体。
有的材料滞环较窄，也就是当励磁电流减为零后，总的磁场 $\vec{B}$ 也基本减小到零，我们称之为软磁材料或导磁体。

五、什么是永磁同步电机

1821 年，法拉第制作了一个装置，这个装置能将电能转化成机械能，被认为是世界上第一台电动机。

法拉第的装置的组成非常简单：将水银注入一个圆形容器里面，中间放置一块永磁体，一根长的导线一端悬挂，另一端浸入容器里的水银里面，最后再外接一个直流电源。原理也很简单，永磁体产生的磁场与导线产生的磁场相互作用，产生一个使导线绕轴旋转的力。法拉第的天才之处在于想到了用水银（常温液体，有良好的导电性）解决了电机连续旋转的所需要的换向问题。

法拉第的电机验证了机电能量转换可以连续进行的，为电机的发展奠定了坚实的基础。当然现代电机和法拉第的电机模型有了较大的区别，但原理都是完全一致的：都是两个磁场相互作用。

5.1 电机原理的通俗理解

我们从小学就知道，磁铁分 N 极和 S 极，磁力线从 N 极出发，最后回到 S 极；磁铁同极相斥，异极相吸。磁铁磁极之间的相互作用示意图如下：

利用磁极之间的相互作用力，理论上我们可以移动一个磁极，让另外一个磁极跟着运动，如果第一个磁极旋转的话，另一个磁极也会跟着旋转。但是这样无法称之为电机，因为旋转一个磁极需要的是机械能，这样本质上是机械能之间的转换，不是电能和机械能之间的转换。那怎么办呢？

安培定律告诉我们，磁场本质是由电流产生的，我们想要的是磁场之间的相互作用，因此主要有电流即可，一个很自然的想法就是：能不能将两个磁场中的一个用线圈来产生呢？——当然可以，永磁同步电机就是这么干的，具体见下图：

我们一般将永磁体放在转子上，定子是一个线圈，线圈通电后，也会产生一个磁场。根据我们的直观感觉，很容易得出如下结论：

当两个磁场轴线正对着的时候（上图左），磁场之间有相互吸引力，这个力是径向的，不会产生转矩。
当两个磁场轴线有一定夹角的时候（上图中），磁场之间有相互吸引力，但是这个力既有径向分量，也有切向分量，因此会产生一定的转矩。
当两个磁场轴线垂直的时候（上图右），磁场之间有相互吸引力，但是这个力主要是切向分量，因此产生转矩最大。

可以做出如下猜想：对于旋转电机而言，由于其转矩是由两个磁场相互作用产生的，因此：

转矩的大小应该和两个磁场的大小是正相关的，磁场越强，转矩应该越大；
转矩的大小和两个磁场之间的夹角是正相关的，夹角为零时转矩为零，夹角 90°时转矩最大。

这些都是定性分析，对于工程师而言，我们需要的是定量的计算，那怎么算呢？

我们知道，数学中的叉乘运算

$\vec{a}\times \vec{b}=\left| a \right|\left| b \right|sin\theta$

描述的是什么东西呢？——叉乘的结果和两个量的幅值成正比，和夹角正相关，这怎么和磁场产生转矩的那么相像，那是不是可以可以用叉乘来计算两个磁场相互作用产生的转矩呢？

磁场的本质是电流产生的，产生磁场的电流又叫磁动势，假如我们胆子更大一点，是不是可以进一步猜想：

$\vec{T} \propto \vec{F_m}\times \vec{F_c}$

其中

$\vec{F_c}$

表示线圈磁动势，

$\vec{F_m}$

表示永磁体磁动势。

也就是说电机转矩和线圈磁动势与永磁体磁动势的叉乘成正比。这么想是合理的，后面我们会有证明。

当然，真正的电机是不会直接拿线圈和永磁体直接相吸的，这样效率太低，一般是将线圈绕在磁轭上，磁轭是软磁体，起着导磁的作用，如下图所示。

5.2 电机的数学模型

电机就是一个能量转换装置，将电能转化成机械能，转换路径是电能

$\rightarrow$

电磁能

$\rightarrow$

机械能，要分析这个过程，其实就是解决三个方程的问题：

磁路分析——磁链方程
电路分析——电压方程
机械分析——转矩方程

下面我们就按照这个思路，看看如何分析一个永磁同步电机。

我们前面说了，电机产生转矩就是两个磁场相互作用，当个磁场都在连续旋转时，就产生了一个固定的旋转力矩。要产生旋转的磁场，就要有“旋转”的电流；要产生“旋转”的电流，就要有“旋转”的电压；同时旋转的磁场还会产生“旋转”的磁链，其示意图如下：

可以把电压、电流以及磁链都看成是旋转的矢量，其转速完全一致，相位不同。数学表达如下：

电压矢量： $\vec{\mathbf{u_s}} = \vec{u_s}e^{j\omega_et}$
电流矢量： $\vec{\mathbf{i_s}}=\vec{i_s}e^{j\omega_et}$
磁链矢量： $\vec{\mathbf{\Psi_s}} = \vec{\Psi_s}e^{j\omega_et}$

文章中，我们把旋转的矢量用加粗带箭头的符号表示，把矢量用只带箭头的符号表示。电压、电流以及磁链虽然以相同的速度在旋转，但是其相位还是有差别的，因此，我们有必要定义一个基准，把这个相位信息表达出来。在电机里面，为体现逼格，我们一般不叫 xy 轴，而是把永磁体所在的轴线称之为 d 轴（Direct Axis），也叫直轴，垂直于永磁体的轴线称之为 q 轴（Quadrature Axis），也叫交轴。d 轴和 q 轴相差 90°电角度，示意图如下：

至于什么是电角度，我们后面会说。

5.2.1 磁链方程

磁链表征着磁场的信息，对于永磁电机而言，转子一般是永磁体，所以只对定子线圈进行磁链计算即可。我们知道线圈磁链计算公式为：

$\vec{\mathbf{\Psi_s}} = N\vec{\mathbf{\Phi}}$

$\vec{\mathbf{\Phi}}$

是通过单个线圈的磁通，

$N$

是线圈的总匝数。

电机中的磁场来源可以分成两部分，一部分是线圈是产生的，另一部分是永磁体产生的。即：

$\vec{\mathbf{\Psi_s}}=\vec{\mathbf{\Psi_c}} + \vec{\mathbf{\Psi_m}}$

其中

$\vec{\mathbf{\Psi_c}}$

为线圈自身产生的磁链，

$\vec{\mathbf{\Psi_m}}$

为永磁体产生的磁链。其向量图如下图所示。

对于线圈而言，专门有一个量来表征线圈自身产生磁链的能力——电感，单位为亨利（H），

电感定义为：

$L=\frac{\Psi}{i}$

即单位电流产生的磁链，电感和电阻类似，虽然是通过磁链和电流来定义和计算的，但是其本质是由磁路的物理结构决定的，与电流没有关系（除非电流引起磁路饱和，相当于改变了磁路的物理结构）。

因此线圈产生的磁链可以表示为：

$\vec{\mathbf{\Psi_c}} = L_s\vec{\mathbf{i_s}}=L_s\vec{i_s}e^{j \omega_et}$

永磁体在线圈产生的磁链为：

$\vec{\mathbf{\Psi_m}} = \vec{\Psi_m}e^{j\omega_et}$

5.2.2 电压方程

电机中磁路主要研究磁链方程，而电路主要研究电压平衡方程。忽略电机中的铁损及漏磁等，对于定子线圈，模型可简化成下图所示：

很容易得出：电路的外电压等于电阻损失电压与线圈感应电压之和，写成数学形式为：

$\vec{\mathbf{u_s}}=R_s\vec{\mathbf{i_s}} + \frac{d \vec{\mathbf{\Psi_s}}}{dt}$

将线圈的磁链分解成线圈电流产生磁链以及永磁体产生磁链：

$\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_s}}}{dt}=\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_c}}}{dt}+\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_m}}}{dt}$

其中：

$\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_c}}}{dt} = \frac{d (L_s\cdot\vec{\mathbf{i_s}})}{dt}=L_s\frac{d \vec{\mathbf{i_s}}}{dt}=jL_s\omega_e\vec{\mathbf{i_s}}$

假设磁路均匀，即电感是常值，令

$X_s=L_s\omega_e$

，称之为同步电抗，则：

$\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_c}}}{dt} = jX_s\vec{\mathbf{i_s}}$

永磁体产产生的感应电势为：

$\frac{d\vec{\mathbf{\Psi_m}}}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \vec{\Psi_m}e^{j\omega_et} \right)=j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_m}}$

此处也假设磁路均匀，则定子线圈总的感应电势为：

$\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_s}}}{dt}=L_s\frac{d\vec{\mathbf{i_s}}}{dt}+j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_m}}$

不难发现：

$\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_c}}}{dt}$

存在是因为线圈中电流变化，导致了

$\vec{B}$

变换而其引起的，其大小可用电感来表征，因此称之为感生电势或者是变压器电势；

$\frac{d \vec{\mathbf{\Psi_m}}}{dt}$

存在是因为永磁体产生的旋转磁场导致了线圈有效面积

$S$

发生改变而引起的，因此称之为动生电势或反电动势。线圈中总的感应电势即是感生电势和动生电势之和。

电压平衡方程的矢量形式为：

$\vec{\mathbf{u_s}} = R_s\vec{\mathbf{i_s}}+L_s\frac{d\vec{\mathbf{i_s}}}{dt}+j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_m}}$

画成相量图的形式为：

图中

$\mathbf{E}$

为动生电势（反电动势），

$jX_s\vec{\mathbf{i_s}}$

为感生电势（电感电势）。

注意：所有的相量都在旋转。

我们前面定义了：

电压矢量： $\vec{\mathbf{u_s}} = \vec{u_s}e^{j\omega_et}$
电流矢量： $\vec{\mathbf{i_s}}=\vec{i_s}e^{j\omega_et}$
磁链矢量： $\vec{\mathbf{\Psi_s}} = \vec{\Psi_s}e^{j\omega_et}$

将上式代入电压平衡方程可得：

$\vec{u_s} = R_s\vec{i_s}+j\omega_e L_s\vec{i_s}+j\omega_e \vec{\Psi_m}$

对应的等效电路图为：

5.2.3 力矩方程

力矩是电机设计及控制中非常核心的一个量，一把书上要么是直接给出方程，要么是从能量转换的角度推导出，要么太粗暴，要么太复杂，都不太容易理解，今天，我们从能量守恒的角度来看一下，希望能减轻一下各位童鞋的负担。

电机，本质是一个能量转换装置，对于电动机来说，就是将电能转换成机械能。在复平面域，计算出的功率称之为复功率，与实数领域直接相乘略有不同，复平面对应的是电压相量与电流相量的内积：

$\vec{{p}} = <\vec{\mathbf{u_s}},\vec{\mathbf{i_s}}>= \vec{\mathbf{u_s}}\cdot\vec{\mathbf{i_s}^*}$

代入电压平衡方程可得：

$\mathbf{<}\vec{\mathbf{u_s}},\vec{\mathbf{i_s}}\mathbf{>}=\mathbf{<}\left( R_s\vec{\mathbf{i_s}}+\frac{d\vec{\mathbf{\Psi_s}}}{dt}\right),\vec{\mathbf{i_s}}\mathbf{>}$

根据内积的定义

$<\vec{a},\vec{b}>=\vec{a}\cdot\vec{b}^*$

,这样就可以得到电机进行能量转换时的复功率：

$\mathbf{<}\vec{\mathbf{u_s}},\vec{\mathbf{i_s}}\mathbf{>}=\left( R_s\vec{\mathbf{i_s}}+j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_s}} \right)\cdot\vec{\mathbf{i_s}^*}$

方程的左边就是流入电机的瞬时功率，这个比较好理解，我们着重分析一下方程右边的两项分别代表什么意思。

第一项：

$R_s\vec{\mathbf{i_s}}\cdot\vec{\mathbf{i_s}^*}=R_s\vec{{i_s}}e^{j\omega_et}\cdot\vec{{i_s}^*}e^{-j\omega_et}=R_s\left| \vec{{i_s}} \right|^2$

代表着电阻

$R_s$

在电流

$\vec{\mathbf{i_s}}$

下产生的功率，这个比较好理解，可以看成是热损耗，电机中绕组由于大都是铜线绕指的，一般也叫铜损，最终损耗掉了。

第二项：

$\left( j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_s}} \right)\cdot \vec{\mathbf{i_s}^*}= j\omega_e \vec{{\Psi_s}}e^{j\omega_et} \cdot\vec{{i_s}^*}e^{-j\omega_et} = j\omega_e \vec{{\Psi_s}} \cdot\vec{{i_s}^*}$

，

由复数的计算规则：

$\vec{{\Psi_s}} \cdot\vec{{i_s}^*} = \left| \vec{{\Psi_s}} \right|\left| \vec{{i_s}^*} \right|\left( \angle\vec{{\Psi_s}} +\angle \vec{{i_s}^*}\right)$

进一步化简可得：

$\left| \vec{{\Psi_s}} \right|\left| \vec{{i_s}^*} \right|\left( \angle\vec{{\Psi_s}} +\angle \vec{{i_s}^*}\right) = \left| \vec{{\Psi_s}} \right|\left| \vec{{i_s}} \right|\left( \angle\vec{{\Psi_s}} -\angle \vec{{i_s}}\right)$

我们知道，对于复功率而言，实部是有功功率，虚部是无功功率。取这一项的实部即为有功功率，所以：

$Re\left\{ \left( j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_s}} \right)\cdot \vec{\mathbf{i_s}^*} \right\}=Re\left\{ j\omega_e \left| \vec{{\Psi_s}} \right|\left| \vec{{i_s}} \right|\left( \angle\vec{{\Psi_s}} -\angle \vec{{i_s}}\right)\right\}$

这个式子看着有点吓人，但是化简一下就简单明了了：

$Re\left\{ \left( j\omega_e \vec{\mathbf{\Psi_s}} \right)\cdot \vec{\mathbf{i_s}^*} \right\} = -\omega_e \left| \vec{{\Psi_s}} \right|\left| \vec{{i_s}} \right|sin\left( \angle\vec{{\Psi_s}} -\angle \vec{{i_s}}\right)$

上式的右边看着是不是有什么规律呢？——

$\left| \vec{a} \right|\left| \vec{b} \right|sin\theta$

所以最终的有功功率非常简单：

$P_e = \omega_e \vec{\Psi_s} \times \vec{i_s} \cdot\left| \vec{n} \right|$

式中

$\left| \vec{n} \right|$

表示叉乘后的方向（含全面的符号），加上它是为了形式上一致，因为点乘后标量，叉乘后是矢量。

知道了有功功率，这个时候我们就很容易计算转矩了，假定转子的转速是

$\omega_r$

,则转子上的力矩为：

$\vec{ \mathbf{T}}=\frac{P_e}{\omega_r}=\frac{\omega_e}{\omega_r} \vec{\Psi_s} \times \vec{i_s}=p\vec{\Psi_s} \times \vec{i_s}$

其中

$p$

为极对数，这一块很多童鞋是由迷惑的，我们说

$\omega_e$

为电角度，

$\omega_r$

为机械角度，它俩到底有什么关系？什么时候用电角度？什么时候用机械角度？

我们前面举例子时一般都是一对极，这样沿机械一周，电信号也变化一个周期，此时机械角度与电角度相同，即

$\omega_e=\omega_r$

；当极对数

$p$

大于 1 时，这样沿机械一周，电信号就会变化

$p$

个周期。下图给出了 3 对极和 6 对极时每个机械周期内（360°）电信号变化的情况。

可见，

$\omega_e=p\cdot\omega_r$

。

由于

$\vec{\Psi_c}\times \vec{i_s}=L_s\vec{i_s}\times\vec{i_s}=0$

所以力矩还可以写成：

$\vec{ \mathbf{T}}=p\vec{\Psi_s} \times \vec{i_s}=p(\vec{\Psi_m}+\vec{\Psi_c}) \times \vec{i_s}=p\vec{\Psi_m} \times \vec{i_s}$

由于

$\vec{\Psi_c}=L_s\vec{i_s}$

，所以转矩还可以写成：

$\vec{ \mathbf{T}}=p\frac{1}{L_s}\vec{\Psi_m} \times \vec{\Psi_c}$

前面我们猜测：

$\vec{T} \propto \vec{F_m}\times \vec{F_c}$

在这里也可以得到证明，因为

$\vec{F_m} \propto\vec{\Psi_m}$

，

$\vec{F_c} \propto\vec{\Psi_c}$

。

5.3 DQ 坐标系下三大方程

前面我们所有的三大方程（磁链、电压、转矩）都是用矢量来表示的，形式是相当简洁的，但是考虑到大多人还是习惯标量的表示方法，而且矢量运算在计算机中也不容易实现，所以大多数教材上一般都是给出标量形式下的电机三大方程。

我们首先将电压、电流及磁链矢量投影到 dq 坐标系上：

$\vec{u_s}=u_d+ju_q$

$\vec{i_s}=i_d+ji_q$

$\vec{\Psi_s} = \Psi_d+j\Psi_q$

带入到原始旋转矢量方程：

$\vec{\mathbf{u_s}}=\vec{u_s}e^{j\omega_et}=(u_d+ju_q)e^{j\omega_et}$

$\vec{\mathbf{i_s}}=\vec{i_s}e^{j\omega_et}=(i_d+ji_q)e^{j\omega_et}$

$\vec{\mathbf{\Psi_s}} = \vec{\Psi_s}e^{j\omega_et} =(\Psi_d+j\Psi_q)e^{j\omega_et}$

代入电压平衡方程可得：

$\vec{u_s}e^{j\omega_et}=R_s\vec{i_s}e^{j\omega_et}+\frac{d}{dt}\left( \vec{\Psi_s}e^{j\omega_et} \right)$

化简可得：

$\vec{u_s}=R_s\vec{i_s}+j\omega_e\vec{\Psi_s}+\frac{d\vec{\Psi_s}}{dt}$

则通过简单的数学运算，很容易得到 $dq$ 坐标下标量形式的磁链方程：

$\Psi_d=L_di_d+\Psi_m$

$\Psi_q=L_qi_q$

$dq$ 坐标下标量形式的电压方程：

$u_d=R_si_d+\frac{d\Psi_d}{dt}-\omega_e\Psi_q$

$u_q=R_si_q+\frac{d\Psi_q}{dt}+\omega_e\Psi_d$

画成相量图的形式如下：

$dq$ 坐标下矢量的力矩方程：

$\vec{T}=p\cdot\vec{\Psi_s}\times\vec{i_s}$

标量形式力矩方程为：

$T=p\left( \Psi_di_q-\Psi_qi_d \right)$

进一步变形：

$T=p\left[ \Psi_mi_q+(L_d-L_q)i_di_q \right]$

这就是教科书上最常见的形式了，这表明：永磁同步电机的力矩包含两个部分，一是

$p\Psi_mi_q$

，这是由永磁体产生的力矩，一般称之为励磁力矩或对齐力矩（Alignment Torque）；另一部分

$T=p(L_d-L_q)i_q$

是由于磁路上磁阻不均匀（

$L_d\ne L_q$

）引起的，所以称之为磁阻力矩，如果磁路交直轴磁阻相等，则这部分力矩消失。

将

$i_d$

、

$i_q$

用电流幅值及角度进行表示，输出转矩为：

$T=p\left[ \Psi_m\left| i_s \right|cos\gamma-\frac{\left| i_s \right|^2}{2}sin(2\gamma)(L_d-L_q) \right]$

上式对

$\gamma$

求导，并取导数为零，即可以得到转矩取极值时对应的

$\gamma$

值：

$\gamma_{maxT}=sin^{-1}\left\{ \frac{-\Psi_m\pm\sqrt{\Psi_m^2+8\left| i_s \right|^2(\Delta L)^2}}{-4\Delta L \left| i_s \right|} \right\}$

，其中

$\Delta L=L_d-L_q$

上式中，位移的未知量是

$i_s$

，也就说有了测量到了电流值，就可以计算出

$\gamma$

，从而获得最大的转矩——这就是最大转矩比电流控制（Maximum Torque per Ampere），简称 MTPA。

六、什么是电压极限圆和电流极限(椭)圆

我们令：

$\sqrt{i_d^2+i_q^2}=I_m$

前面我们介绍了

$dq$

坐标下电压方程为：

$u_d=R_si_d+\frac{d\Psi_d}{dt}-\omega_e\Psi_q$

$u_q=R_si_q+\frac{d\Psi_q}{dt}+\omega_e\Psi_d$

现在我们考虑稳态时情况，先忽略电阻

$R_s$

（通常比较小），稳态时

$\Psi_d$

、

$\Psi_q$

不再变化，因此电压平衡方程可以简化为：

$u_d=-\omega_e\Psi_q=-\omega_eL_qi_q$

$u_q=\omega_e\Psi_d=\omega_e(L_di_d+\Psi_m)$

为简单起见，先假定

$L_d=L_q=L$

则：

$\left| u\right|^2=(u_d)^2+(u_q)^2\quad\Rightarrow\left( i_d+\frac{\Psi_m}{L} \right)^2+\left( i_q \right)^2=\left( \frac{\left| u \right|}{\omega_eL} \right)^2$

其中绿色为电压极限圆，红色为电流极限圆。电机的电压是由逆变器提供的，是有限制的，也就是说

$\left| u \right|\leq V_{max}$

，很显然能得出以下几个结论：

电压极限圆不是正好在电流坐标系的中心，偏置为 $\Psi_m/L_d$ ;
转速越高，电压圆的半径越小；
电机必须工作在电压圆与电流圆同时覆盖的区域（截面线示意的部位）

当电机转速很低时，电压极限圆很大，电流极限是其主要约束，因此低速下电流可以一直保持在

$i_q$

为最大值状态，此时称之为恒转矩区，如下图所示的 T1 区。当转速继续上升时，电压和电流极限圆都成为约束，两者的交点处为工作点，如下图的 T2 和 T3 区，

$i_d$

开始出现分量，此时成为弱磁状态，即永磁体产生的磁场被

$i_d$

产生的磁场削弱了，进而在同样的电压下能够产生更高的转速。

上面讨论的是

$L_d=L_q$

（即隐极）的情况，当

$L_d\ne L_q$

时，电压方程变为：

$L_d^2\left( \frac{\Psi_m}{L_d} +id\right)^2+\left(L_qi_q \right)^2=\left( \frac{V_{smax}}{\omega_e} \right)^2$

电压极限圆变成了电压极限椭圆，如下图所示：

当电机做好之后，

$T=f(i_d,i_q)$

，因此任意的

$i_d$

、

$i_q$

都会对应一个力矩值，我们把力矩相同的之用线连起来就得到一族等力矩曲线，如下图的三条黑色的等力矩线。

同一个等力矩的曲线会和不同的电流圆相切，产生一系列的切点，这些切点的轨迹就是 MTPA（最大力矩比电流）控制点，因为在一定的电流极限下，该切点是力矩最大的点。
同一个等力矩的曲线会和不同的电压椭圆相切，产生一系列的切点，这些切点的轨迹就是 MFPT（最大转速比力矩）控制点，因为在一定电压极限（电压代表着速度）下，该切点是速度最大的点。

七、旋转磁场是如何产生的

前面我们说了这么多，都有一个大前提：电机要连续旋转，一定要有一个旋转的磁场。那旋转磁场从何而来？

说到这我们不得不提一个人——尼古拉·特斯拉，关于特斯拉，有很多传说：