如何比较 cos 38° 和 tan 38° 的大小?


已知

,下对此结论进行证明。

欲证明

只需证明

只需证明

,易知

附近单调递减且有一根

问题转化为证明

注意到

,从而转化为证明

只需证明

只需证明

,从而易知在

单调递减,

单调递减。

从而

,都有

因而可以加强为证明

利用万能公式,

,易知

单调递减,则只需证明

只需证明

易知在

,则可以加强为证明

只需证明

没有了三角函数的运算变得简单得多。易知

,因此

。从而问题得证。


手画三角函数线或者函数图像并不能看出来;借助做图软件或者计算器就失去手算的乐趣了。有关以上两点的内容就请不要再在评论区里提及了。

捞自己一把,对运用类似的奇技淫巧证明不等式感兴趣的同学:

下面这道导数题,请问有什么好的方法和解题思路吗(非作业)?

感谢阅读。


(2019-09-30 更新)

鉴于有同学问及,补充一下

的计算方法(其实一搜就会有很多):

几何法 1:

Solidworks 画的,凑合看

如图所示的等腰

中,顶角

,底角

。做

的角平分线

交对边

;过点

边上的高

,垂足为

。容易看出

,设其长为 1。由

,可得

。设

,则

,解得

几何法 2:

如图所示,两条射线成一

的角。从顶点

开始,以前一次操作得到的新交点为圆心画半径为 1 的弧并与对边相交,依次得到

;再从

分别向对边做垂线

各个角度已经在图中标出,其中

。从而不妨设

。由相似关系

可得

,再结合二倍角关系

,使用其中形式较简单的代换即可解得。一并也可得到

的值。

三角法:

,则

即解方程

的符合条件的根。

,解之即得。

利用

等诱导公式的相等关系和二倍角、三倍角公式亦可以得出结果,在此不做赘述。

复数法:

,则有

,解之即得。

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