1 甜在心馒头店
公司楼下有家馒头店:
![](https://picx.zhimg.com/v2-ebdf55a15c53027a85fa4e5d55a9094b_720w.jpg?source=8673f162)
每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?
老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):
均值为:
按道理讲均值是不错的选择(参见“如何理解最小二乘法?”),但是如果每天准备 5 个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,
的时间不够卖:
你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。
2 老板的思考
老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用
来表示:
![](https://picx.zhimg.com/v2-a03c893a0e32dedcf58aad215a596000_720w.jpg?source=8673f162)
然后把
的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上:
![](https://pic1.zhimg.com/v2-063eefa202cdc1201967561c69643bed_720w.jpg?source=8673f162)
把
均分为四个时间段:
![](https://picx.zhimg.com/v2-8eccfd812ec54eefe8c6a21127512778_720w.jpg?source=8673f162)
此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出:
![](https://pic1.zhimg.com/v2-1fec3572490eecdb1f620546fecf4b87_720w.jpg?source=8673f162)
在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出):
![](https://picx.zhimg.com/v2-632be81e6b73e6eb3637bfff70e60a3d_720w.gif?source=8673f162)
内卖出 3 个馒头的概率,就和抛了 4 次硬币(4 个时间段),其中 3 次正面(卖出 3 个)的概率一样了。
这样的概率通过二项分布来计算就是:
但是,如果把
的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了:
![](https://picx.zhimg.com/v2-b2359584d6ac471f2eea581c33d1cf77_720w.jpg?source=8673f162)
从图中看,每个时间段,有卖出 3 个的,有卖出 2 个的,有卖出 1 个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。
解决这个问题也很简单,把
分为 20 个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币:
![](https://picx.zhimg.com/v2-f665f9b2df9793c5417afa62e5684b14_720w.jpg?source=8673f162)
这样,
内卖出 7 个馒头的概率就是(相当于抛了 20 次硬币,出现 7 次正面):
为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成
份:
越细越好,用极限来表示:
更抽象一点,
时刻内卖出
个馒头的概率为:
3
的计算
“那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率
怎么求?”
在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为:
那么:
4 泊松分布
有了
了之后,就有:
我们来算一下这个极限:
其中:
所以:
上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在
时间内卖出
个馒头的概率为:
一般来说,我们会换一个符号,让
,所以:
这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。
5 馒头店的问题的解决
老板依然蹙眉,不知道
啊?
没关系,刚才不是计算了样本均值:
可以用它来近似:
于是:
画出概率密度函数的曲线就是:
![](https://pic1.zhimg.com/v2-0ddc1be3e81dfca66a049f3b6949d8b0_720w.jpg?source=8673f162)
可以看到,如果每天准备 8 个馒头的话,那么足够卖的概率就是把前 8 个的概率加起来:
![](https://pica.zhimg.com/v2-94e637cc158cfdd59e953e58e8dfa71c_720w.jpg?source=8673f162)
这样
的情况够用,偶尔卖缺货也有助于品牌形象。
老板算出一脑门的汗,“那就这么定了!”
6 二项分布与泊松分布
鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的
很小的时候,两者比较接近:
![](https://picx.zhimg.com/v2-07cca0d57208923e317c354cac9ccccb_720w.jpg?source=8673f162)
7 总结
这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。
生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期,我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少,但是因为不确定性原理,我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变?所以可以用泊松分布来计算。
还有比如交通规划等等问题。
这篇文章可以继续扩充:如何理解指数分布?
文章最新版本在(有可能会有后续更新):如何理解泊松分布?
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