看一个非常简单的物理中的孤子解，然后考察它的性质。首先写一个 1+1 维经典场论，它的 Lagrange 量密度
求出运动方程
讨论它的静态解，也就是令
。显然当势能取最小值，即
，我们有两个独立的基态解。若取边界条件
，会有一个孤子解
这称为 kink，其中
是积分常数，可以看作孤子的位置，
时的图像如图 1。当然取相反的边界条件也可以得到孤子解
，称为 antikink。
能量密度为
图像如图 2。
能量的局域性暗示孤子可以被看作一种粒子。接下来积分求出总能量
我们对这个解作 Lorentz 变换：
这时重新算一下总能量，发现任意时刻都有
那么这个解就可以被看作是具有能量
，以速度
运动的粒子。很重要的是，随着时间推移，场和它的能量密度的构型仅仅发生了中心的平移，并没有发生耗散，kink 确实就像是粒子。它像是不受任何阻碍地在运动，因而称为孤子。
此外，这个粒子还具有某种守恒的拓扑荷，因而又称为拓扑孤子。要看到这一点，首先定义拓扑流
对应的拓扑荷为
于是 kink 带有 +1 的拓扑荷，而 antikink 带有 -1 的拓扑荷。有限能量的过程不可能改变场在无穷远处的渐近行为，因此这个拓扑荷是守恒的。这个守恒荷来自基态空间和场构型的非平凡拓扑结构，而不是根据 Noether 定理来自某种连续对称性，因而称为拓扑荷。
凝聚态和高能场论中的 kink，vortice，monopole，domain wall，skyrmion，instanton，宇宙学中的 cosmic string，都是孤子。
更新：多说一些拓扑荷的事情。
就像用规范场的 Noether 荷区分不同类型的基本粒子，我们也考虑一些守恒量，以区分不同类型的场的孤子解。既然我们是考虑一个能看作粒子的场构型，那么能量的局域性要求能量密度在无穷远处趋于零。因为有限能量的过程无法改变场在无穷远处的行为，所以我们只需要场在无穷远处行为的拓扑分类。
我们将场
看作是
到它取值构成的流形
的映射，孤子解的渐近行为
就是
上无穷远处的球面
到场处于基态时的取值构成的子流形
的映射。我们用
的同伦类，也就是同伦群
的元素，区分不同类型的孤子解。
回到这里
的情形，
，
，
也就是拓扑上不等价的基态集合，场构型也就是
的元素。这里
包含两点，就应该有 4 种拓扑上不等价的构型。假设场由
描述，如果
，它表示一个全局的基态
；如果
，它表示非平凡的孤子解
，根据
的具体取值，可以是 kink 或 antikink。这里定义的拓扑荷就是反映
同伦类的一个拓扑不变量。
对
的情形，我们用
，也就是
的基本群，来分类场构型。它的非平凡元素有 vortex 的特点，例如图 3 二维 XY 模型中的自旋构型，相应的拓扑不变量就称为缠绕数。
规范场论中常常用 Chern 数来分类孤子。它们是 Chern 形式在全空间上的积分，Chern 形式是由势
和场强
构造的规范不变的偶数次微分形式，局部上可由 Chern-Simons 形式的外微分给出，更多内容可以参看 @Again 的回答
瞬子与轴矢流反常以及 U1 problem 如何联系在一起？
以及 @史诗生物 的专栏
从超对称开始的异世界物理
References:
E. J. Weinberg, Classical Solutions in Quantum Field Theory: Solitons and Instantons in High Energy Physics, Cambridge, 2012.
N. Manton & P. Sutcliffe, Topological Solitons, Cambridge, 2004.
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