几何化猜想（Geometrisation Conjecture）
Thurston 在 1982 年提出，并于 2002 年由 Perelman 证明。而著名的庞加莱猜想（Poincare Conjecture）则是其简单推论。btw 庞加莱猜想的证明我在文后写了一个简短的证明思路。
不过首先，我们需要知道三维流形的素分解定理，而这本身也是一个非常神奇的结论。
众所周知，一个正整数可以被唯一分解为一些素数的积，比如 57=3*19。而素数则是那些不能再被分解的数，于是我们可以把素数看作整数的一个基本单位。而三维流形（下文默认可定向）中，则存在着完全类似的情况：
素分解定理（Prime decomposition）：
于是我们可以转而考虑「素流形」，或者「不可约流形」（事实上可定向素流形只比不可约流形多一个
），而「不可约流形」又可以被 tori 分解为一些更小的基本块（JSJ /geometric decomposition）。
而当我们再考虑这些「基本块」的时候，几何化猜想宣称：
几何化猜想（Geometrisation Conjecture）：
下面我们就可以证明庞加莱猜想了：
庞加莱猜想（Poincare Conjecture）：
证明：
不妨假设 M 是素流形（根据素流形定义及其素分解的基本群性质）.
由于单连通，基本群平凡，所以没有不可约 tori，即 M 是基本块（JSJ 分解定义）.
于是 M 有 8 种几何结构之一（几何化猜想）.
而根据我们对 8 种几何的了解，基本群有限的只能是.
于是，其中
是一个离散且作用自由等距群，（由定义）,
而平凡（复叠映射性质）.
所以
btw，我觉得“流形”这个翻译本身就很神奇。出自《易经》「乾」卦的彖辞：
大哉乾元，萬物資始，乃統天。雲行雨施，品物流形。大明始終，六位時成，時乘六龍以御天。乾道變化，各正性命，保合大和，乃利貞。首出庶物，萬國咸寧。
附一张北大全斋的对联：
天道几何，万品流形先自守。
变分无限，孤心测度有同伦。
微信扫一扫 
