几何化猜想(Geometrisation Conjecture)
Thurston 在 1982 年提出,并于 2002 年由 Perelman 证明。而著名的庞加莱猜想(Poincare Conjecture)则是其简单推论。btw 庞加莱猜想的证明我在文后写了一个简短的证明思路。
不过首先,我们需要知道三维流形的素分解定理,而这本身也是一个非常神奇的结论。
众所周知,一个正整数可以被唯一分解为一些素数的积,比如 57=3*19。而素数则是那些不能再被分解的数,于是我们可以把素数看作整数的一个基本单位。而三维流形(下文默认可定向)中,则存在着完全类似的情况:
素分解定理(Prime decomposition):
于是我们可以转而考虑「素流形」,或者「不可约流形」(事实上可定向素流形只比不可约流形多一个
),而「不可约流形」又可以被 tori 分解为一些更小的基本块(JSJ /geometric decomposition)。
而当我们再考虑这些「基本块」的时候,几何化猜想宣称:
几何化猜想(Geometrisation Conjecture):
下面我们就可以证明庞加莱猜想了:
庞加莱猜想(Poincare Conjecture):
证明:
不妨假设 M 是素流形(根据素流形定义及其素分解的基本群性质).
由于单连通,基本群平凡,所以没有不可约 tori,即 M 是基本块(JSJ 分解定义).
于是 M 有 8 种几何结构之一(几何化猜想).
而根据我们对 8 种几何的了解,基本群有限的只能是.
于是,其中
是一个离散且作用自由等距群,(由定义),
而平凡(复叠映射性质).
所以
btw,我觉得“流形”这个翻译本身就很神奇。出自《易经》「乾」卦的彖辞:
大哉乾元,萬物資始,乃統天。雲行雨施,品物流形。大明始終,六位時成,時乘六龍以御天。乾道變化,各正性命,保合大和,乃利貞。首出庶物,萬國咸寧。
附一张北大全斋的对联:
![](https://picx.zhimg.com/v2-43526759f9cd4f8f759bf2ef6666fa57_720w.jpg?source=8673f162)
天道几何,万品流形先自守。
变分无限,孤心测度有同伦。