〈cyb 酱☆的数学科普系列〉有一个很多人都见过，但是可能叫不出名字的常数：
数，或者如果你喜欢，可以叫【计算器常数】
为啥很多人见过呢？相信不少同学都有过这样的尝试，找一个计算器，调整到弧度制
输入任意一个初始值，然后不断按
按键，最后这个数会收敛到：
当然很多其他的常数也很有趣，我们不求广，宜求少但精，这个数有很多好玩的事情，让我们一一了解他们：
第零，我们先证明全局收敛性
因为不断按
相当于在计算
的值
不难发现，因为
的值域是
，根据偶函数性质：
的值域是
，结合中值定理、压缩映照原理，（其实这个想法挺 Banach 的，不过工具还算是比较初等）
，因此存在唯一的
的解
而且这个解正是上述迭代的不动点（回顾压缩映照定理证明就是构造
现在，我们证明了解的唯一性之后，就可以研究其性质了。
第一，这个数是一个超越数，怎么证明呢？
因为
，因此，如果
是一个代数数
那么不难证明
是代数方程
的解，从而
是一个代数数
另外显然
是代数数的乘积所以也是一个代数数
但是结合我们小学二年级就学过的
定理（就是证明
是超越数的那位的著名定理）
当
是一个代数数时
是一个超越数，令
我们推出矛盾
从而我们证明了
是一个超越数，这样当然是一个无理数
当然，这个定理显然也能用来证明
是超越数，若不然，
是代数数
这与
是代数数显然是矛盾的，容易发现这与我们上面证明的思路很接近。
第二，现在我们来研究
的级数表示，利用
函数，我们有
，怎么证明呢？（当然如果你愿意，也可以将半整数的正弦写开）
下面的内容来自
在
年的文章（但我相信这个级数的发现应该远早于这篇文章），不过总的来说整个证明还是很简单的
首先我们应该联想到小学一年级学过的
方程
，我们很容易发现：令
也就是上面的方程中
的情形
所以我们先研究下
方程的级数解
很自然的想法是研究
看成关于
的
级数
不妨设
于是显然
对
分部积分不难得到
分部出来的项因为
时解很显然是
而
，因此
于是
注意根据
方程
于是
后者的积分显然是
，下面考察前者
后者根据
函数的性质，我们变换如下：
首先仍然是利用
方程把
换掉
接下来根据
函数的定义
（应该可以在特殊函数的书或者是复变、数学物理方法讲柱函数的地方找到）
于是简单观察发现
最后，我们就可以写
回到原题，代入
同时
结合我们熟知的恒等式
故这个
级数是绝对收敛的，于是结论得证
最后，也就是第三，做一点大家喜闻乐见的数值分析
如果使用
的方法，收敛速度如何呢？（相当于讨论在计算器不断按余弦的收敛速度）
选取一个合适的初值
（误差已经很小了）
很不幸的是速度其实非常慢：
为啥会这样呢？因为这个迭代收敛速度其实是一阶（线性）的
我们不妨设
这样我们有
利用微分中值定理我们有
而
介于
之间，考虑到
很小，所以
因此误差项
，这显然是我们不能满意的
于是我们采用
法，这显然是一个二阶方法，让我们欣赏一下最后的结果
从图上看，迭代到第五次的时候，已经发现小数点后
位结果都是真切的
以上。
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