什么是「奥利给」不等式?(奥利给等于什么)


奥利给不等式就是:

奥利给不等式

哈哈哈哈,开个玩笑~

其实,这是个谐音,“奥利给不等式”指的是“ALG 不等式”(Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities),中文又称“对数均值不等式”[1]

定义是:

即对于任意两个非负且互不相等的数

,两者的算术平均数(Arithmetic mean)

大于对数平均数(Logarithmic mean)

大于几何平均数(Geometric mean)

对应的证明方法有很多,我找到了一个由 Roger B. Nelsen 教授给出的图解证明法[2],这也是我所见过的最为直观简洁的奥利给不等式证明方法,但是由于其原文中的公式有些错误,所以这里重新写一遍。

对数均值不等式的图解证明

思路其实就是对比函数

在区间

所围的面积与一个通过“内切”(左边图)形成的梯形面积与两个通过“外接”(右边图)形成的梯形面积,进而得到不等式关系。

很显然,两种情况下,函数

在区间

所围的面积都为:

对于左边的图,根据积分所得面积与梯形面积的关系有:

(注意这里的梯形可以看做是长为

,高为

的矩形)

对于右边的图,根据积分所得面积与两个梯形面积和的关系有:

(开始吟唱:梯形的面积是上底加下底的和乘高除二!)

综上有:

而对于题主的问题,关于

的关系就很好比较了。

由奥利给不等式有:

现在只需要令

则有:

所以当

时,有:

时,有:

时,有:


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