这里的核心问题其实在这一句话上：
“如果 p,那么 q"可表为“p→q”
问题是绝大多数情况下不可。
实际上如果要强调不同的 conditional（条件句），我甚至一般不用
，而是用
表达 material implication（实质蕴含），而把
留给更为麻烦的那个玩意儿。
而 material implication 嘛，为了避免各种和蕴含相关的问题，我不会选择用「如果……那么……」这种容易引起误解的翻译，而更喜欢直接简单直白的「(非……) 或者 ……」，这里的括号不是省略，而单纯就是括号。至于为什么要加括号，后面你会懂的。
按照题目中的例子就是这样：如果我们 用 p 表达「明天下雨」，用 q 表达「我在家看书」，那么
就是「(并非 明天下雨)，或者，我在家看书」。
至于「(并非 明天下雨)，或者，我在家看书」是否等于「如果明天下雨，那么我在家看书」，这是自然语言的问题。显然，你能感觉到哪里不对。后面再说。
当然，有嗯哼会说括号不是自然语言的一部分。那就这样说：「以下两件事情至少有一个成立：第一种可能：……为假；第二种可能：……为真」。然后就会有嗯哼说，「事情」「可能」「至少」「一个」没有定义。诶嘿。
表面上，我们有一些从 日常语言 到 命题逻辑语言 的自然翻译：
「小明喜欢苹果和梨」翻译为「小明喜欢苹果，并且，小明喜欢梨」。
或者说， S v (P 和 Q) = (S v P)
(S v Q) ，其中
是「并且」的意思。（生草的点在于，这个 v 是指动词，但是它写出来就真的很像分配律啊，S 是主语，PQ 随便选的两个字母，不是蟛蜞。）
于是，这个「和」被翻译成了命题逻辑意义上的「并且」。（当然还有一些额外的 操作，比如说把「小明喜欢」复制多了一份。）然后我们只需要把两个原子命题分别记作
，得到
。万事大吉。
但是，只要稍微加一个嵌套，就能体现出自然语言和逻辑语言之间的隔阂：
- 老张不喜欢苹果和香蕉
- 老张不喜欢苹果或香蕉
这两句话有时候是一个意思。从逻辑的角度上来说，这是不可思议的事情，但是从语言使用的角度来说倒是很好理解，因为断言的本性是确定的。所以我们会倾向于忽略那种使其传达了一个不确定信息的解读。也就是说，我们会直接理解成「(1) 老张不喜欢苹果 并且 (2) 老张不喜欢香蕉」这样一句传达了两个确定信息的语句，而这一般等价于「老张不喜欢 苹果 或者 香蕉 中的任何一种」。当然这个「苹果或者香蕉」中的「或者」在某种意义上已经不是一个命题运算了，它更像是集合的并运算。[1]当然了，你也可以不考虑这种 overload 的情况，转而认为这里的「不」统治的是下面这个语句：「老张喜欢苹果，或者，老张喜欢香蕉」——你把这个以「或者」为连接词的语句整体给否定了。
说简单一点，就是
。
那么我们大概会如何表达「老张不喜欢苹果或老张不喜欢香蕉」的情况？我不知道，瞎猜一下：
- 老张可能不喜欢苹果，[停顿] 或者香蕉？
- 老张不喜欢苹果，但也有可能是不喜欢香蕉，不过一定是两者之中至少有一个，我记不清楚了。
——这些说辞归根结底是因为我们希望提供一个准确的信息给对方，降低自己的责任，而降低到最后，我们甚至会加一个 catch-all 选项，比如说 otherwise——这就导致，从逻辑上说，这句话完全是 0 信息的废话了（老张可能不喜欢苹果，[停顿] 或者香蕉？[再停顿] 或者是其它什么东西），但是真的是 0 信息的废话吗？如果你真的给了苹果，那事后那个人会不会说「我早告诉过你老张可能讨厌苹果了你怎么还上苹果」？但是光从逻辑的观点看，「苹果」「香蕉」「其它」构成了一个穷尽的划分，因此只要我们认为一个人可能讨厌某些东西是必然成立的，那么一个人「讨厌苹果 或者 讨厌香蕉 或者 讨厌其它什么」就是一个空洞自然成立的描述。也就是说，逻辑永真式在日常语言中是可以包含信息的。当然，你也可以说这根本就不是逻辑永真式。但是总而言之就是这个意思。
而实际上，确定地表达「老张不喜欢苹果或老张不喜欢香蕉」是很滑稽也很罕见的情况。如果我们确实是记不清楚了，那么你怎么可能言之凿凿地说就是两者中必定有一个？这是一款开放选项的冒险类游戏，背锅侠将会在没有提供所有信息的情况下背上锅。
类似的不吻合也出现在「或」的多种用法中，日常语言中的或有些时候是不支持「共存」的，比如说，你支持谁？你中午想吃什么？开会地点选哪里？谁接单？谁中标？——虽然这些问题看上去都是一个 A 或 B 或 C 的情况，但是实际上我们知道一般来说这意味着只有一个。而哪怕有两个或者多个，那实际上也应该单独列一条出来，比如说：「你要叉烧还是排骨？还是双拼？」——如果「叉烧还是排骨」中的「还是」表达了经典命题逻辑中的「或」，那么「双拼」就是废话，但是我们知道有些店不支持双拼。而且实际上，「双拼」和「一份叉烧加上一份排骨」是不同的东西。而这个不同也恰好是我们发展线性逻辑的动机：
- 我有一块钱，我可以卖一个苹果
- 我有一块钱，我可以卖一个桃子
- 我有一块钱
- 因此，我可以卖一个苹果和一个桃子。
你看，我们对于「和」的分析，哪怕不涉及嵌套，似乎都是错的，如果它仅仅是一个逻辑且，它不会有任何违和的感觉。当然，这里会有人认为「可以」是那个导致错误的嵌套词，那么「想要」呢？更进一步，日常语言中的「或者」甚至也不会提供不可接受的选项：
「我想要一个苹果或者一个香蕉」
给了香蕉。
「你他妈傻逼吗？我想要一个苹果 或者一个香蕉，我没说我想要香蕉，我想要的是苹果！」
——奇怪吗？太奇怪了。所以你看这个「或者」其实是什么？是集合上的 并。它在这里的工作形式似乎更像是逻辑「且」一些。（当然，这说到底和「一个」的形式化有关，它的工作机制看上去像是在一个集合中随便挑选一个对象，但是不管这种强迫接受香蕉是不是来源于语用，这会导致这个结果看上去像是一个全称量化：既然你要一个苹果或者香蕉，那么对于任意的 x，只要 x 属于 苹果或者香蕉 这个并集，那么它都是可以的，你看，「对于任意的」凭空出现。另见后文中的驴！）
这意味着什么？这意味着自然语言和命题逻辑之间没有简单的对应关系。表面语法在一些情况下是有用的，另一些情况下则没有用。
我们无法把自然语言简单地、组合式地翻译过去。很多括号我们不知道要加在哪里，很多形式化的思路是错误的。
至于否定，其实一样困难，看看下述语句对：
- 我有两个孩子
- 我没有两个孩子
以及
- 当今法国国王是秃头
- 当今法国国王不是秃头
你可以将其直接理解为
和
的关系，但是绝大多数情况下并非如此这般。
另一个关于否定的问题就是过于强烈，很多时候否定比「并非如此这般：」表达了更加强烈的内容，可能是情感，可能是语义。比如说，「我不喜欢他」往往表达了超过「并非：我喜欢他」的含义。当然，最简单的例子还是 SEP 和 SAP 并不是单纯的二分，而 SIP 和 SOP 也不是矛盾。
这些问题当然不仅仅停留在命题的层面上，如果我们拆开句子结构，引入谓词，那么会遇到更多问题。不如说，上述空名问题实际上就出在「法国国王」这个空名上。
已知当今法国国王不存在，考虑下述三个句子：
- 当今法国国王参加了这次晚宴。
- 当今法国国王没有参加这次晚宴。
- 这次晚宴上没有当今法国国王。
这三句话里面，前两句很奇怪，因为我们在谈论一个不存在的对象，它们表面上是逻辑矛盾，但是实际上都是 not even wrong。而第三句话从某些翻译上来说和第二句应该是等价的，但是因为「主题」（subject）这个虚无缥缈的玩意儿变了，于是语感上来说就没有那么病了。（当然这里的语感本身就是一种可以扯皮的东西，你可以认为这个地方的主题根本不是「晚宴」）
但是一般来说，第二句和第三句拥有相同的逻辑形式，如果用
表示 x 出席了 y，那么三句话的翻译之中，按理说都是因为包含了一个空名 x 而导致整句失败，但是实际上似乎这不足以捕捉上面那种微妙的语感区别。
而另一个有名的困难则是代词的解释困难。
如果我们把 「ta」理解成 x，那么「有一个中国人在巴黎生活。ta 喜欢红酒。」
似乎应该翻译成：
中国人（
）
这种翻译方式（把「一个 X」翻译成特定的存在结构，然后用 x 去指称）在处理一些别的语句的时候就会出现问题。（实际上，前面已经有问题了，注意句号的断开导致实际上的直观翻译是
中国人，
，第一个存在量词仅仅管到
的左侧，而右侧的 「喜欢红酒 (x)」 中的 x 是不受约束的）
比如说，驴！
每个有一头驴的农夫都打它。
你无法用「存在」去捕获这个「驴」，而实际上一个合乎我们想要表达含义的翻译具有形式：
对于任意的农民 x，对于任意的驴 y，((并非：x 拥有 y)，或者， x 打 y)。
——炸了。
当然，或许有一些逻辑系统会试图照常翻译，但是用一些别的语义来处理
或者
然后解决这个问题。但是这个时候那个系统中的
和经典逻辑中的
就不是一个东西了。
更进一步，还有完全一样的词在不同语境下解读不同的问题：
- 猫坐在垫子上，因为它很冷。
- 猫坐在垫子上，因为它很暖和。
前一句和后一句中的「它」似乎应该统一翻译，但是实际上我们会根据语境分别理解。哪怕我们采用了动态谓词逻辑（Dynamic Predicate Logic），允许 x 在不受约束的情况下出现在单独的语句中，并且根据特定的规则指向前面的某个对象，这也无法解释这里的情况。
并不是说逻辑没有用，而是说，如果数学模型建错了，数字算得儿再对也没有用。驾~
回到条件句的问题上。
最简单的条件句看上去是实质蕴含，但是实际上是形如「所有 S 都是 P」形式的「对于任意的 x，如果 x 是 S，那么 x 是 P」，或者说，按照我的翻译「对于任意的 x，((并非 x 是 S)，或者 x 是 P)」。
它之所以简单，是因为它不涉及可能世界，或者说，这里的可能性都能用简单的文恩图解决。
比如说，「如果 x 是正方形，那么 x 是四边形」并不会引发那种傻逼的问题，如：如果 x 不是正方形怎么办？如果 x 已经是四边形了那又怎么办？对比下述两种不同情境下的「反驳」：
- 「如果明天不下雨，我们就上体育课。」——但是老师，天气预报已经说了明天下雨了，你说这个耍猴儿呢？
- 「如果明天下雨，我们就在课室里上语文。」——难道明天不下雨你就不上语文了吗？楽。
在思考简单的数学问题的时候，因为它们不涉及现实空间的变化，所以我们脑子里简单清晰地画出了两个圆，比如，一个对应正方形，一个对应四边形，前者落于后者中，所以这个条件句是真的。——这是外延的角度。
而另一方面，从内涵的角度上来说，我们可以想象一些同时是狗牌和钩子的玩意儿，比如说，正方形 这个钩子上直接或者间接地挂着诸如 四条边、四个等边、四个等角、四个直角、菱形、平行四边形、四边形、几何图形、多边形 ……这样的狗牌，而 四边形这个钩子就比较不幸了，上面只有 四条边、几何图形、多边形 这些狗牌。并且实际上正方形在某种意义上，之所以挂着 四条边、几何图形、多边形 这些狗牌就是借助 四边形这个 即是钩子同时也是狗牌的玩意儿 挂起来的。
从这个意义上来说，我们可以说 正方形
四边形（取 包含 的意思）。基于狗牌。
当然，我也不知道 super set 的符号被用来干这件事是不是有这方面的考量，但是问题不大。而如果一个人采用的是外延的思维，那么用 subset 来表达实质蕴含也不是不行，反正自己不要把自己绕晕就行了。
而从外延视角来说，两个圆 A 和 B 的差就构成了
的反例。也就是说，
的部分就是使得「如果 x 是 A，那么 x 是 B」不成立的部分，比如说「如果 x 是菱形，那么 x 是正方形」的反例就是那些不是正方形的菱形，也即
中的元素。
这种玩意儿构成了某种「典范」。这个 典范条件句 有两个特征：
第一个特征是拥有一个 x 去联系前后句，
第二个特征是这个陈述非常素。不涉及对于世界的变动，而只涉及分类和标签。
违背第一个条件的情况下，我们会陷入不相干的困境，而这也是发展 相干逻辑 的动机。
比如说，哪怕依旧是片面孤立静止的数学问题，我们也其实不太喜欢下面这个条件句：
如果所有圆都是四边形，那么所有三角形都是四边形。
因为一个「所有 S 都是 P」本质上就是在说「对于任意的 x，如果 x 是 A，那么 x 是 B」——而前后两句的 x 是无关的，后一句的 x 可以变成另一个变量 y。而命题逻辑会告诉我们，这句话是真的，因为「所有圆形都是四边形」不成立。嘿嘿。
而这也就是 命题逻辑条件句 在教学过程中的各种失败的源头。因为命题逻辑连接的对象往往是原子语句，而不是公式（当然，公式也不是随便都行，比如说如果 x=3 那么 y>z 在不给额外条件的情况下就是 bullshit），命题逻辑条件句中，当我们在举例的时候，前后件封闭的、无关联的句子，因此在某种意义上是前后不相干的，而相干性可能只能通过别的东西提供。
比如说，会有人想用一个别的线索串联起来这些事情，甚至我们已经用了这样的线索。
请注意「我在家看书」这句话，如果直接读，它的含义就是 我现在家看书。
而实际上，所谓的「如果明天下雨，那么（明天）我在家看书」已经更改了命题。
而背后的那个 x 是什么呢？我不知道，简单一点可能是：「对于任意一天 x，如果 x 是下雨天，那么 我在 x 那天 在家看书」。
至于你非要说这句话是不是真的，那就回到了开头：你需要寻找一个雨天，我那天没在家看书。这种寻找反例的思维模式其实是一个很直白的工作模式。但是其实它已经更接近语义后承了。
命题逻辑中的条件句缺乏一个串联前后件的 x，天生就显得是不相干的。甚至，哪怕是那些做相干逻辑的人，只要他们在做的时候依旧停留在命题的层面上，那我依旧不会特别满意这些工作。但是懂的都懂。
至于第二个问题，也就是「可能世界变动」。最简单的例子就是反事实条件句。
比如说核弹悖论：
- 如果苏联的核弹都消失了，那么美国会对苏联发动核战争。
- 如果全世界的核弹都消失了，那么苏联的核弹也都消失了。
- 因此，如果全世界的核弹都消失了，那么美国会对苏联发动核战争。
这里说粗鄙一点就是「世界」变了，而所谓的「世界」变了具体是个什么意思呢？当然我们不在思考一个固定的世界的意思。
这就和数学里面你搞不同的几何系统一个意思。
世界变动会直接导致相同的语句在两个世界中取值不同。比如说，美国拥有核弹 这个语句在 1 和 2, 3 中的真假不同。1 虽然没有明说，但是我们都知道它得有「美国拥有核弹」才能成立。但是 2 和 3 中 「美国拥有核弹」为假。那么「美国拥有核弹」这个命题放在现在来说是不是真的呢？是真的，在我们这个世界是真的。——所以它在 1 中也是真的？严格来说还需要考虑一下时间轴，但是姑且不需要考虑变动的可能性。
那么为什么「美国拥有核弹」在 2、3 中是假的呢？因为我们假设了「全世界的核弹都消失」，这抹除了「美国拥有核弹」的事实。
这也就是世界变动造成的问题。
当然，这里的「世界」不是一个世界，而是所有那些满足我们描述的世界构成的集合，不过这都是细节问题。
说白了，这就像是函数的 default value 一样，你不给，不做 initialization，就会有一个自己的值。你 initialize 一下，就被你 initialized 了。
另一个问题是关于世界变动对于「不成立的前件」的影响。
比如说，在常规数学中，让我们考虑，比如说，正 17 面体，我们说，所有正十七面体都有十八个面。或者说，「对于任意的 x，如果 x 是正十七面体，那么 x 有十八个面」——这是对的，因为你找不到一个反例，也即，一个 (并非拥有十八个面) 的 正十七面体。因为根本就没他娘的正十七面体！
但是，在核弹问题中，其实我们已经做了两次跳转了：首先已经没有苏联了，但是我们依旧能假设苏联存在，其次，苏联存在的时候是有核武器的（至少对于我们关心的那个时间节点），但是我们假设没有。而这并不会受到前述的「根本就没他娘的正十七面体」性质的陈述的影响。
这也就是最开头那个「老张不喜欢苹果和香蕉」的问题：我们默认了我们想要谈论的东西是确定并且有意义的，然后我们会自觉顺着它去想问题。我们有脑补的方向，就像是 CPU 有 branch predictor [2]一样。
不过，话又说回来了，考虑到数学也不是铁板一块，我们完全可以说，在二维空间中，一个正十七面体就是一个正十七边形，而显然正十七边形是十七边不是十八边，因此如何如何。——这也是一种反驳的思路，但是接不接受就另说了。
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