如何理解路径积分（path integral）？_网络百科

看到 @纳米酱写的关于路径积分和随机微积分的联系的回答，所以想把这部分仔细理一下，这个回答也就可以回答比如为什么物理专业可以从事金融、机器学习、等等跟随机微积分关系紧密的工作的问题了。

回答比较长，思路是首先理清量子力学中定义路径积分的方式，也就是对时间演化的酉算符拆分，并且插入 RI，得到传播子的路径积分表示。再联系到随机微积分中的 Feynman-Kac 公式，通过比较，得到维纳测度的 Feynman 表示定理，最后得到扩散过程的作用量

在薛定谔绘景下，态矢的演化由一个酉算符给出，

$|\psi_t\rangle = U(t) |\psi_0\rangle$

，当哈密顿量不显含时间时，

$U(t) = e^{-itH/\hbar} = e^{-it(T + V)/\hbar}$

。如果取位置表象，插入 Resolution of the Identity (RI)，波函数为

$\psi(x, t) = \langle x | \psi_t\rangle$

，可以得到

$\int dx |x\rangle \psi(x, t) = \int dx dx_0 |x\rangle \langle x | U(t) | x_0\rangle \psi(x_0, 0)$

，因此，问题就转化为求解传播子

$K(x, t; x_0, 0) = \langle x| U(t) | x_0\rangle$

我们把上面的式子带入到态矢的薛定谔方程中也可以得到传播子的薛定谔方程

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} K(x, t; x_0) = ( - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x))K(x, t; x_0)$

，如果就这么结束，可以说是没有任何意义。所以，即然要追求刺激，那就贯彻到底咯，（你好 ** 啊，滑稽

因为

$U(t) = e^{-i/\hbar \sum_{j=0}^{N-1; t_N = t} H (t_{j+1} - t_j)} = \Pi_j e^{-iH\Delta t_j/\hbar}$

，可以想到的一个骚操作就是把 RI 疯狂插入酉算符，因此，传播子可以表示为

$\begin{split} K(x, t; x_0) &= \int dx_1 dx_2 \cdots dx_{N-1} \langle x|U(t_N - t_{N-1})|x_{N-1}\rangle \langle x_{N-1} | U(t_{N-1} - t_{N-2})|x_{N-2}\rangle \cdots \langle x_1|U(t_1)|x_0\rangle\\ &= \int dx_1 dx_2 \cdots dx_{N-1} K(x, \Delta t; x_{N-1}) K(x_{N-1}, \Delta t; x_{N-2}) \cdots K(x_1, \Delta t; x_0) \end{split}$

这样就把问题转化成了把一个小时间区间上的传播子求出来就可以了，看起来还是毫无意义，所以还要继续想一些骚操作化简。不过到这里就已经可以看出路径积分的意义了，这里在固定起始点

$x_0$

和终止点

$x$

的情况下，将连接这两个位置的所有路径拿出来（对所有中间位置的积分）并且每隔

$\Delta t$

传播一次，由于积分的存在，所以对所有可能的路径都进行了计算。那么，怎么求解小时间区间上的传播子呢？这个技巧非常常见，比如转动问题、Ising 模型原子链计算配分函数之类的。当我们把时间区间取得足够小，就可以用这个酉算符的生成元，也就是哈密顿量还看这个问题

$U(\Delta t) = e^{-iH\Delta t/\hbar} = 1 - i(T+V)\Delta t/\hbar + O(\Delta t^2) = e^{-iT\Delta t/\hbar} e^{-iV\Delta t/\hbar} + O(\Delta t^2)$

，如果动能部分只跟动量有关，那我们完全可以用 Fourier 变换换到动量表象下研究，而势能部分只和位置有关，在位置表象下也就非常简单。

$K(x_2, \Delta t; x_1) = \langle x_2 | e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}\Delta t} e^{- \frac{i}{h} V(x_1) \Delta t} | x_1\rangle + O(\Delta t^2) = e^{- \frac{i}{h} V(x_1) \Delta t} \langle x_2 | e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}\Delta t} | x_1\rangle + O(\Delta t^2)$

对于动量部分，我们换到动量表象，继续插入 RI

$\langle x_2 | e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}\Delta t} | x_1\rangle = \int dp e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}\Delta t} \langle x_2 | p \rangle \langle p | x_1 \rangle = \int \frac{d p}{(2\pi \hbar )^n} e^{\frac{i}{\hbar}(- \frac{p^2\Delta t}{2m} + p(x_2 - x_1))}$

这里也就是为什么题主觉得路径积分和 Fourier 变换很像，因为对于动能部分用了 Fourier 变换换到动量表象。

上面的积分可以直接凑成高斯积分，得到

$\langle x_2 | e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}\Delta t} | x_1\rangle = (\frac{m}{2\pi i \hbar \Delta t})^{n/2} e^{\frac{im(x_2 - x_1)^2}{2 \hbar \Delta t}}$

所以，传播子为

$K(x_2, \Delta t; x_1) = (\frac{m}{2\pi i \hbar \Delta t})^{n/2} e^{\frac{i}{\hbar} (\frac{m(x_2 - x_1)^2}{2\Delta t} - V(x_1) \Delta t)} + O(\Delta t^2)$

为了让余项消掉，我们在上面的传播子的中间点数量取得无穷多，这样

$\Delta t$

趋于 0。得到传播子的路径积分表示

$K(x, t; x_0) = \lim_{N\rightarrow +\infty} (\frac{m}{2\pi i \hbar \Delta t})^{nN/2} \int dx_{N-1} dx_{N-2} \cdots dx_1 e^{\frac{i\Delta t}{\hbar} \sum_{j=0}^{N-1}(\frac{m(x_{j+1} - x_j)^2}{2(\Delta t)^2} - V(x_j))}$

由于 exp 上面的部分可以理解成拉格朗日量的积分，也就是作用量

$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{j = 0}^{t/\Delta t} (\frac{m}{2} (\frac{x_{j+1} - x_j}{\Delta t})^2 - V(x_j)) = \int_0^t ds (\frac{m}{2} \dot{x}(s)^2 - V(x(s))) = \int_0^t ds L(x, \dot{x}, s) = S$

因此，可以将路径积分表示写成

$K(x, t; x_0) = C \int D[x] e^{\frac{i}{\hbar} \int_0^t ds L}$

其中，

$C$

是一个规范化常数，我的理解是，函数或者态矢构成的空间上同样可以定义度量，比如连续函数和取上界可以构成完备度量空间，于是引出各种其他的数学结构，所以这里的

$D[x]$

就是定义在路径空间上的 Lebesgue 测度。当然，可能数学上不太严谨，我觉得可以这么理解。所以，传播子实际上就是把各条路径的作用量按指数加权求和

上面说完了量子力学里的路径积分，也谈一下这一思想在随机过程里的应用。随机微积分里不管是做数学、统计、金融、物理、信息、机器学习，都很难绕过的一个重要的定理就是Feynman-Kac 公式，这个定理给出了抛物型 PDE 的概率解，在期权定价中尤其重要，因为给出了倒向随机微分方程的解。这个定理是由数学家 Kac 在 Feynman 路径积分（就是上面说的）的启发下，引入到随机过程中的。例如，对于扩散过程，正向随机微分方程给出了一系列的样本轨道（例如股票的价格）

$dX_t = b_t dt + \sigma_t dB_t, X_0 = x_0$

，对应的倒向随机微分方程给出了期权的价值，由一个抛物型 PDE 给出

$\frac{\partial u}{\partial t} + b^i\partial_i u + \frac{1}{2} \sigma^{ik}\sigma^{jk} \partial_i \partial_j u - Vu + f = 0, ~ u(x, T) = g(x)$

Feynman-Kac 公式给出

$u(x, t) = \mathbb{E}[\int_t^Te^{-\int_t^s V(X_u, u) du} f(X_s, s) ds + e^{- \int_t^T V(X_s, s) ds} g(X_T) | X_t = x]$

为了和上面说的路径积分联系起来，我们取

$f=0, ~ g(y) = \delta(y - x)$

，这样，上面的公式成为

$u(x_0, 0) = \mathbb{E}[e^{-\int_0^T V(X_s, s) ds} | X_0 = x_0, X_T = x]$

那么，和路径积分表示相比，还差一个动能部分，这个体现在哪呢？似乎答案就在期望里。是的，因为路径积分的积分是对 Lebesgue 测度求的，这里由于扩散过程的随机部分是布朗运动，所以是一个高斯过程，我们可以想象是不是高斯过程的概率应该具有动能的积分的形式，也就是自由粒子传播子。我之前找到过一本分析概率论的书，书里把这个叫维纳测度的 Feynman 表示定理，写成

$W(d B) = \frac{1}{Z} e^{- \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \dot{B}_t^2 dt} d B$