乘法的本质是什么?(了解乘法的意义是什么)


不要简单的把乘法理解成加法的简化记号("三个 2"记为"2 乘以 3"),乘法的本质是映射的复合。

矩阵乘法是最常见的不满足交换律的乘法。把一个

的矩阵看成是从

维线性空间到

维线性空间的线性映射,那么

矩阵和

矩阵的乘法的结果就是从

维空间到

维空间再到

维空间的复合映射。当

的时候,乘法就成了一个集合上的二元运算。

加法本质是相同对象的运算,而乘法的本质是不同对象之间的运算。

比如一箱有 60 个鸡蛋,10 箱有 60x10 个鸡蛋,其实我们考虑的是两个集合:鸡蛋计数集合

和箱子计数集合

,这里的乘法实际上是一个二元函数

上天然的运算是加法(一个箱子 + 一个箱子=两个箱子),f 对

满足分配律(2 箱鸡蛋 +3 箱鸡蛋= (2+3) 箱鸡蛋 = 5 x 60 个鸡蛋)这样我们就定义了最原始的乘法。数学上这样的关系叫作群

在群

上的作用。

但我们很容易看到所有的计数集合都是同构的(整数加群),于是上面的运算就成了一个加群在它自身上的作用

. 这时候我们可以增加一些假设,比如:

结合律:

交换律:

就得到了常见的整数乘法。

我们从小学就知道"3 乘 5"和"3 乘以 5"是不同的算式,其实这就是在强调乘法的本质是来自不同集合的元素的作用,只不过刚好整数乘法的交换律使得这两个运算结果是一样的。

对于这些理论感兴趣的读者,可以阅读抽象代数和范畴理论的相关书籍找到更准确深入的介绍。

好了,现在我们有整数以及加法、乘法了,什么是分数呢?对了,我们还没有定义除法。"1 除以 2"是什么东西我们并不知道啊!但我们知道除法是乘法的逆运算,就像减法是加法的逆运算一样。

回忆一下当我们只有自然数和加法的时候,我们是怎么定义负数的呢?什么是"1-2"?首先对于

我们定义

是恰好满足

的那个自然数,它满足

.于是我们对于

的时候也就这样定义,把所有的减法式

统统用最前面这个式子

代表,简记成

.

现在分数也是一样,借用张贤科老师的一句话,"一除以二不知如何相除,以不除为除",我们不知道(1 除以 2)是什么,但我们知道(1 除以 2)=(2 除以 4)=(3 除以 6)=...,我就把它们统统用

代表。

每次我们像这样延拓运算的时候,我们旧的运算法则很自然的对于新产生的"数"依然成立,比如整数的加法,有理数的加法和乘法。

从有理数到实数的扩张与上面的做法别无二致,只不过它是针对另一种运算(取数列极限)所做的扩张,这个过程叫做完备化。

有关实数这些内容以及你所说的

,你可以从任何一本<数学分析>中找到严谨的逻辑论述。在这里只想补充一点:你提出的指数函数恰好是最重要的函数(没有之一),三角函数,对数函数以及双曲函数都是由简单的

发展而来,所谓"基本函数"其实只包含多项式函数和一个指数函数而已。

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补充一下看到你说欧拉公式才明白你所说的是

。这就要扯到复数。复数的定义方式有很多,我们按照上面的思路,定义

,把之前的加法,减法,指数函数的定义形式(指数函数用级数定义)都扩张到复数上来,

就有定义了。

--------

另外关于面积、体积与乘法的关系。与其说它们与乘法有关系,还不如说它们与行列式有关系,满足乘法关系只是在所有向量两两正交的时候的特例。

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2021.4.29:现在知乎支持 latex 了,改了一下几个公式,内容没有变化。但是知乎中 latex 公示的大小似乎跟文字不太成比例,希望以后能够优化一下。

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