简版回答
对于一个导线来说，直流电是不存在趋肤效应的
对于交流电来说，趋肤效应指的是大部分电流趋向于分布于导体表面，内部电流比较弱；这时导体的整体损耗当然需要考虑周长这个因素。
不过我们日常使用的工频电趋肤效应并不明显，在低负荷情况下一般不用额外考虑的。
略深入回答
对于趋肤效应（或者说集肤效应）来说，有一个评价指标是趋肤深度：
其中
是导体的电导率，
是导体的磁导率，
为角频率，f 是电流的频率，全部采用国际单位制。
由于趋肤效应的存在，电流的发热大部分集中在趋肤深度以内，但是趋肤深度之下仍然有电流。
在工程实践中，我们把磁导率换成相对磁导率，即
其中
是真空磁导率
，然后把圆周率等常数开出来，把电导率换成更常用Ω·cm 就可以得到工程上常用的一个公式：
对于工频（50Hz）电流来说，纯铜的趋肤深度大约为 9.3mm，远超过一般导线的半径，因此通常不需要额外考虑趋肤深度的问题。
完整回答：麦克斯韦方程组
对于金属中的电流问题，我们可以求助于麦克斯韦方程组：
当然，一般性的麦克斯韦方程组是解不出我们的结果的，我们还要补充其他条件：
首选，要补充的是描述介质性质的物性方程：
电位移矢量
，
为介电常数
磁场强度
还有描述传导电流密度
需要说明的是，这个物态方程不一定是恒成立的，在频率非常高的条件下
是不成立的，这时候需要把
替换成张量......
到这里，方程组还是不好解，所以我们可以做进一步简化，把方程组变成准静态的，即：
，注意，这里同样是不适用频率非常高的情况下......
再补上导体中没有先天的电荷，即无源条件：
我们就可以把麦克斯韦方程组变成：
凑结果，解方程：
(4)这个方程组看上去不好解，尤其是(4-2)，通常而言，这种两个变量不好直接做代换的，我们会采用找一个中间变量的方式来求解，有点类似中小学阶段学的参数方程。
那么对于 E 和 B 来说，这是一个矢量场，怎么找中间变量呢？
回到我们中学阶段，引入中间变量通常是要用恒等式的，比如把圆方程化成参数方程就是利用了正弦和余弦的平方和肯定为 1 这个恒等式
所以对于这里，我们也可以搞一个恒等变形：
由于任意矢量场的旋度的散度恒为 0，即：
恒成立
我们可以定义
，其实 A 这个玩意被称为矢势
这里我们直接继续，带入(4-2)：
这个时候我们已经可以猜出 E 和 A 的关系了：
，当然实际上这一步是不对的，应该是加上一个无旋量，只不过一般我们为了简化过程把这个无旋量设定为 0 了。（加不加不影响结果）
然后我们把 E 和 A 的关系带入到(4-4)，得到：
考虑到(4-1)，我们可以得到
那么(5)可以化简到：
这是一个微分方程，当然实际上是扩散方程
实际上我们可以把 E、B、j 等带进去发现他们都是扩散方程，下一步就是解扩散方程（其实换成 H、B、j 等都可以得到完全样的方程）：
解扩散方程
为了简化计算，我们做如下定义：
定义电线长度方向为 x 正方向，垂直方向为 z 方向，那么，假定在 t=0 时刻，x 方向电场强度 Ex(z,t)满足：
，写成指数形式（欧拉公式，取实部）结果为：
注意，这里的 j 是虚数符号......下同
那么，我们再定义一个分布函数
使得任意满足：
那么问题就简单了，直接带进(7)来求解：
这个方程的结果是：
，由此可以得到：
写回三角函数的形式（取实部）就是：
其实我们从 H、B 等方面也能得到完全同样的结果，分布函数
是完全一样的。
注意到，对于(12)来说，
是一个关于 t 的余弦函数，其最大值 :
显然这是一个减函数，但是其分布范围一直可以增加到 z 为无穷大。这里有一个特殊值，即当
时，
这个特殊值即被定义为趋肤深度
，此时电流大约为导体表面的 36.8%，并不是说不存在电流。
发热量：
由于
对 t 来说是余弦波，所以有效值是最大值的
，因此我们可以计算趋肤深度内发热量与总发热量的占比 Q：
即，交流电大约 87%的发热会集中在趋肤深度以内
这个东西的一个典型应用就是感应电炉加热的时候，频率和工件尺寸相适应的。
另外，发现 @西交一咸鱼 有更完整的推导：
西交一咸鱼：趋肤效应
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