能不能出一道很难的数学题，答案是 504，宿舍当门牌用？

2023-09-15 06:00:20 • 网络百科

这道题的第一个解答者 @Perplexboy 的回答，非常赏心悦目：

$1\left/\sum_{n=1}^\infty\right.\frac{n^5}{\mathrm{e}^{2\pi n}-1}=504$

在“相关问题”栏目里，也有另外三个宿舍门牌问题：

能不能出一道很难的数学题，答案是 629，宿舍当门牌用？

能不能出一道很难的数学题，答案是 407，宿舍当门牌用？

能不能出一道很难的数学题，答案是 235，宿舍当门牌用？

受 @Perplexboy 的回答启发，我糊弄了一个“万能门牌公式”：

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{3 n^5 \left(8 m n^8-8 n^8 p+76 n^8 q+693 n^4 p-1155 n^4 q-1155 p+609 q\right)}{e^{2 \pi n}-1}=m\\$

其中

$m$

是门牌号，

$p,q$

是任意整数（也可以是有理数）。

随意取

$p=3,q=2$

，则门牌公式简化为：

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{3 n^5 \left(8 m n^8+128 n^8-231 n^4-2247\right)}{e^{2 \pi n}-1}=m\\$

分别取

$m=504,629,407,235$

，可得：

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{3 n^5 \left(4160 n^8-231 n^4-2247\right)}{e^{2 \pi n}-1}=504$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{9 n^5 \left(1720 n^8-77 n^4-749\right)}{e^{2 \pi n}-1}=629$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{9 n^5 \left(1128 n^8-77 n^4-749\right)}{e^{2 \pi n}-1}=407$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{3 n^5 \left(2008 n^8-231 n^4-2247\right)}{e^{2 \pi n}-1}=235$

以下是公式的推导过程：

首先，我们注意到：

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^5}{e^{2 \pi n}-1}=\frac{1}{504}$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^9}{e^{2 \pi n}-1}=\frac{1}{264}$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{13}}{e^{2 \pi n}-1}=\frac{1}{24}$

把这三个式子做简单的组合和变形，得：

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{24 n^{13}}{e^{2 \pi n}-1}=1$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{63 n^5 \left(4 n^8-55 n^4+29\right)}{e^{2 \pi n}-1}=1$

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{693 n^5 \left(3 n^4-5\right)}{e^{2 \pi n}-1}=1$

显然，这三个等于

$1$

的式子都可以做万能门牌公式了，例如

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{24 m n^{13}}{e^{2 \pi n}-1}=m$

，但为了增加门牌号码的“隐蔽性”，按

$p\times1+q\times1+(m-p-q)\times1=m$

的形式“伪装”，有：

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{693 \left(3 n^4-5\right) n^5 p+63 \left(4 n^8-55 n^4+29\right) n^5 q+24 n^{13} (m-p-q)}{e^{2 \pi n}-1}=m$

即

$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{3 n^5 \left(8 m n^8-8 n^8 p+76 n^8 q+693 n^4 p-1155 n^4 q-1155 p+609 q\right)}{e^{2 \pi n}-1}=m\\$

此外，由于

$504,264,24$

的最大公约数是

$24$

，万能门牌公式也可写成：

$24 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{21p n^5+11q n^9 + (m-p-q)n^{13}}{e^{2 \pi n}-1}=m$

可恰当地选取

$p,q$

，使门牌公式在“简洁性”与“迷惑性”之间作出均衡。例如：

$576 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^9 \left(20 n^4+11\right)}{e^{2 \pi n}-1}=504$

$120 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{48 n^{13}-11 n^9}{e^{2 \pi n}-1}=235$

$264 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^9 \left(55 n^4+24\right)}{e^{2 \pi n}-1}=629$

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