引言

　　关于代数方程的求根问题，会有很多人劝题主去学习《近世代数》。不过令人头疼的是，近世代数的教材往往把一元高次方程的求根公式推导问题放到很靠后的章节，如果没有学完前面的内容，是很难看到那里的。

　　本文将从这门课程里面拆出一条只针对高次方程求根问题的线来解释，尽可能让没学过这门课的人也能看懂相关的理论。

　　由于篇幅比较长，希望能有更多的读者能耐心看完，期待本文能帮助读者理解求解代数方程的本质，并对近世代数产生兴趣，以此为基础学好近世代数。

运算的封闭属性与数域

　　加减乘除是我们最早学过的基本运算，它的特点是可以从用两个数来构造出一个结果。有的运算可以确保结果的类型与被用来运算的数的类型相同，有的则不可以。

　　设 S 是一个集合，f(x, y)是一个二元运算，如果对于任意的 x, y∈S，都有 f(x, y)∈S，则称二元运算 f 对于集合 S 是封闭的。

　　首先，我们把运算锁定在非负整数集合

上。不难发现，两个非负整数集的加法依然是非负整数，因而加法对于非负整数集合是封闭的。

　　但是，对于减法运算，两个非负整数相减，它们的差也可能是小数减大数，结果不能落在非负整数集上，因而减法对于非负整数集合不是封闭的。

　　再把集合扩展到全部整数集合 Z，会发现，任意两个整数相减也是整数，因而减法对整数集 Z 也是封闭的。两个整数的乘法也是整数，因而乘法对整数集也是封闭的。

　　在近世代数中，对于加法，减法和乘法运算封闭的集合称为“环”，全体的整数就构成一个环。

　　然后引入除法，此时除法对整数不再封闭，如果要把了除法的结果也囊括进去，需要引入有理数集 Q，它是一个能让加减乘除运算都封闭的集合。

　　对加减乘除都封闭的集合则称为“域”，全体的有理数就构成一个域。任意的单个数 a，都可以和自身相减得到 0，再和自身相除得到 1，然后通过加减构造出整数集，再通过除法构造有理数集。因此，我们构造数域，通常都要包含有理数集。

　　下一步，引入指数是整数的乘方运算，不难发现，指数是整数的乘方运算对有理数是封闭的。但是，如果最后引入指数是整数的乘方运算的逆运算——开整数次方运算，它对有理数集就不封闭了，证明开整数次方对有理数不封闭的性质也不难，只需要证明

是无理数即可：

　　假设

是有理数，则它可以写成：

，且 p 和 q 互质，因而得到　

　　由于奇数的平方只能是奇数，因而 p 必然是偶数，设 p = 2r，则有

　　即

　　因而 q 也只能是偶数，再根据 p 是偶数，p 和 q 有公因子 2，与它们互素相矛盾，因此导出

不可能写成两个整数相除的形式，即

不是有理数。

　　为了确保开整数次方的运算也能封闭，人们又引入了“根式”的概念，把用有理数的四则运算与根式的嵌套组合集合，它对加减乘除封闭，也是一个域，这里称为“根式域”。

　　增加了带根号的数，相当于对原来的域里添加了新元素，构造出来的这个新集合包含原来的集合。新集合称为原来集合的“扩域”，原来的集合称为新集合的“子域”。

　　例如：

表示所有的有理数与

通过四则运算能得到的所有的数构成的集合，也是所有能写为

形式的数构成的集合。

　　多重根号的嵌套，就是从有理数域不断增加元素构造更大的扩域，这个过程称为“域的扩张”。不难发现，加减乘除和整数次乘方的有限次组合，构成一个多项式函数，它对于根式域这个集合都是封闭的。

　　人们起初想当然地认为“多项式函数的逆运算”对根式域这个集合也是封闭的，于是一场寻找多项式函数逆运算的根式表达——推导代数方程的“求根公式”的征程开始了。

　　人们很顺利地导出一元二次方程的求根公式。对于三次方程和四次方程，虽然有些曲折，但也算勉强找到了它的求根公式。然而对五次和五次以上方程的挑战却都失败了。

　　人类到底陷入了什么误区呢？这要从对方程求根公式的推导讲起。

方程求解的配方思想

　　我们初中学过的一元二次方程的一般形式如下：

　　它的求解方法是两边同乘以 4a，移项得到　

　　再对左右边添加用来给左边配方的常数项，有

　　左边配方，得到

　　两边再开平方，有

　　因此导出一元二次方程的求根公式：

　　对于三次方程能用类似的方法么？这里可以试一下，方程的一般形式为：　

　　为了配方，两边乘以

：　

　　然后构造配方系数所需要的项：　

　　配方，有　

　　为了简化方程，我们令

　　于是方程被简化为：　

　　到了这一步，发现虽然我们用配方法消掉了二次项，但带着一次项仍旧无法通过开立方来实现求解，但我们的努力也没有白费，至少我们简化了方程。

一元三次方程的求解

　　根据前面的推导，要求解三次方程，我们需要求解消去二次项的三次方程：

　　经过很多次试探，数学家们找到了求解这种三次方程的有效策略：把 y 拆成两项，设 y = α + β，再代入方程：　

　　把三次项用完全立方公式展开，其余的项移到右边，有：

　　分析这个式子，只要左右两边α+β的系数和常数项对应相等，α+β即是方程的解，这就要求α和β满足：

　　第一个式子两边取立方，有：

　　根据韦达定理，

和

是下面的二次方程的两个根：

　　求解这个二次方程，导出：

　　对上式开方即可导出方程的一个根。到了这一步，我们只写出了方程的一个根，为了找到方程的所有根，把 p 和 q 用α和β来表示，并代入方程，有

　　我们已知 y - α - β是左边多项式的一个素因子，通过多项式除法，导出方程的另外两个根满足下面的二次方程：　　

　　因此导出方程的三个根：

　　记

，不难验证，　

　　方程的根可以写为：

　　从推导的结果中我们看出，一元三次方程的根带着两层根号，里面一层是开平方，外面一层则是开立方。

域的扩张与根的排列

　　在一元二次方程中

中，系数 abc 仅用加减乘除组合是得不到根的，仅用系数加减乘除组合得到的数域称为“系数域”：

　　显然系数域不包括方程的根，但是，添加一个根式即可构造出一个包含方程根的扩张域：

　　这个根式有什么含义呢？根据韦达定理，有

　　代入根式，有

　　这说明这个根号相当于对一个特定的数开了平方，添加到了数域中，使得扩张域包含了方程的解。由于这个根号与方程的根可以互相表示，于是有：

　　这个通过系数域的扩张得到的包含方程的根的域称为方程的“根域”。

　　值得注意的是，根号下面的被开方数与两根的排列无关，但开完根号以后，根号的两个值把两个根分开了，从而让根的排列产生了影响，从根排列的角度反思求根公式也是理解求根公式的重要角度。

　　一元二次方程的两个根只有两种排列，为了更好理分析根的排列的影响，观察一元三次方程。一元三次方程有三个根，这三个根会有 3! = 6 种排列。

　　根据方程根与系数的关系，我们有：

　　这三个值完全不受排列变化的影响，称为“对称多项式”。然后再看开第一重根号以后，三个根的排列的影响，我们先根据求解结果，用

表示α和β：

然后对于被开方的数，有：

　　然后验证，当三个根有 6 种排列时，下面的式子只会有两个值：

　　部分验证过程如下：

　　这说明，我们构造的求解方法，本质上相当于构造了由根

组成的特殊多项式，当根的排列取遍所有情况时，

只会取两个值，用这个值可以构造一个二次方程来求解，从而达到降次的目的。

　　后面在推导一元四次方程的求根公式过程中，这个思想也同样得到验证。降次也会通过添加根号对域做扩张，从而把系数域扩张到根域。开根号会增加受到根的排列影响更大的数来扩张数域。

一元四次方程求根公式的推导

　　一元四次方程的一般形式为：

　　两边同乘以 4a，并移项，有：

　　左右两边配上用于左边配方的常数项有：

　　左边配方得到：

　　引入变量 y，并确保它能让左边依然是完全平方式：

　　右边分离 x 不同次数的系数，有：

　　如果右边也是一个完全平方式，则可以把四次方程分解为两个一元二次方程，y 需要满足：

　　化简得到一个关于 y 的三次方程：

　　只要求解出任意一个 y，代入到右边配方的方程，通过分解因式求解两个一元二次方程即可得到一元四次方程的全部根。

　　虽然求根公式已经导出，但引入的变量 y 让人产生疑问：y 到底有什么意义？

一元四次方程中间变量的含义

　　为了导出 y 的含义，先用一元四次方程的 4 个根表示它的系数，根据韦达定理有：

　　然后推导关于 y 的方程的系数，针对关于 y 的方程

　　使用韦达定理：

　　由此可见，关于 y 的方程的本质是一个用下面的量构造的三次方程：　

　　当

总共有 4!=24 种变化时，这个多项式只会变出 3 个不同的多项式，远少于 24 个，但也不像方程的系数一样完全不变。用它们可以构造出三次方程，从而达到降次的目的。

　　这里就得到了相关的经验：对 n 次方程降次的关键是用方程的 n 根构造一个多项式，使得当方程的根遍历 n!种排列时，这个多项式至多有 n - 1 个变化形式。

　　另外，我们也可以看出，二次方程的求根公式带着一层二次根式，三次方程的求根公式里面带着一层二次根式，外面再包一层三次根式。

　　对于四次方程，先求解三次方程，得到了最内层二次根式，中间层三次根式，最外层是先对中间层的变量套一层二次根式求解分解出来的二次方程的系数，最后再求解分解出来的二次方程，又嵌套一层二次根式。

　　因而四次 方程的求根公式是 4 层嵌套，里面一层二次根式，中间一层三次根式，最外两层二次根式。

　　再次强调基于域的扩张的求根思想：原始的系数用四则运算可以构成“系数域”。最后的根用四则运算可以组合出来的数的集合则是一个更大的集合，即“根域”。

　　从求根公式的形式来看，根域相当于系数域的多次扩张，每一次扩张，都增加了带着层数更多的根式组成的元素。

排列的表示方法和性质

　　为了做进一步的分析，我们需要对于 n 个元素的排列做相关的讨论。n 个元素，总共有 n!种排列，如何表示这种排列呢？

　　在线性代数中，交换矩阵的两行是常见的操作。如果把 n×n 单位矩阵 E 的第 i 行与第 j 行交换，再乘以 n 维列向量 X，相当于把 X 的第 i 个分量与第 j 个分量做了交换。

　　更一般地，由于每种排列都可以用多个对换复合得到，如果把 n 阶单位矩阵 E 的行重新排列，再乘以列向量 X，相当于把 X 的各个分量按同样的规则做了排列，得到了一个新的向量。

　　由此可见，可以用这种通过对单位矩阵 E 的行重新排列的矩阵来表示排列，这种矩阵的特点是每一行，或者每一列，有唯一的一个元素是 1，其余元素是 0，我们以 n = 3 举例：

　　用矩阵表示排列可以直观反映排列的特点，而且能体现出排列的复合性质：向量重排一次，相当于左边乘以相应的排列矩阵，如果左边再乘以一个矩阵，相当于两个排列在复合。

　　在近世代数里面，这种排列的变化称为“置换”，两个排列的复合称为“置换相乘”，它们的性质可以用矩阵乘法的性质得到。对应着单位矩阵的置换相当于没作置换，称为“恒同置换”。

　　矩阵的乘法只满足结合率不满足交换律，排列的复合也只满足结合率不满足交换率。这些表示置换的矩阵都是可逆矩阵，因而每一个置换也都有相应的逆置换。置换与它的逆置换相乘得到恒同置换。多个置换的相乘再取逆，相当于先取逆再按相反的顺序相乘。

　　把排列矩阵取行列式，会发现有的行列式的值是 1，有的行列式的值是 -1，按照行列式的性质，行列式的值是 1 的排列矩阵由偶数次行对换得到，行列式的值是 -1 的排列矩阵则由奇数次对换得到。

　　由偶数次对换得到的排列称为“偶置换”，由奇数次对换得到的排列称为“奇置换”。两个偶置换或两个奇置换相乘得到偶置换，一个奇置换与一个偶置换相乘得到奇置换。

　　虽然用矩阵表示置换很清晰，但是很占空间，有没有更简单表示呢？这里引入元素在置换中的位置“轨道”的概念。

　　在每次置换操作中，部分元素位置发生了变化。选取同一个置换操作，设它对应的矩阵为 M，对于一个列向量 X，构造它的分量的置换序列：　

　　由于 X 的分量的排列只有有限种，所以上面的序列虽然有无限项，重排结果也只有有限种。取两个重排结果相同，但位置不同的项，有

　　再利用置换矩阵的可逆性，有这说明

　　任意一个置换在与自己做有限次乘法以后回到恒同置换。选取 X 的一个元素，这个元素在置换中位置经过很多次变化回到了原来的位置。在变化中的这些位置构成一个循环序列，称为“轨道”。轨道中的每一个元素遍历的位置都相同。

　　何一个置换，都可以把落在同一轨道的位置按遍历顺序列出来，这样每个置换分解成了多个轨道的复合。不同的轨道没有重叠。这些轨道上的元素有序排列，即包含了置换全部的信息。

　　我们就用轨道的信息来表示置换，可以有更简洁的书写。每组轨道的元素都写在圆括号里，单个元素构成的轨道略去，恒同置换用字母 e 表示。例如，如 3 个元素的排列的用轨道书写和用矩阵表示对应关系如下：

　　后面会基于这种简化书写，进一步讨论根的排列对于和根构造的多项式的影响。在近世代数里面，这种置换构成，且对置换的乘积运算封闭的集合称为“置换群”。

　　从群中选出部分元素，这些元素靠着乘积运算可以构成一个对乘法封闭的群，称为“生成群”，由一个元素生成的群称为“循环群”。

　　不难发现，对于 n 个数，所有 n!个置换构成一个群，称为“n 阶对称群”记为

，所有的偶置换也可以构成一个群，称为“n 阶交错群”，记为

，根据奇偶排列数量相同，它们的元素数量为：

　　对称群和交错群对于分析方程的求解有着重要意义。　

系数域的扩张与根的置换群

　　对于三次方程

　　我们用它的根和有理数构造数域，验证下面几个数域中由根生成的元素对根的排列的影响：

　　系数域：

　　中间变量域：　

　　根域：

　　在方程的三个根总共 3! = 6 种排列中，系数域

完全不受根的排列变化的影响，把这些排列全写出来，即为 3 阶对称群：

　　然后再把

中对中间变量域

中的元素没有影响的排列写出来，它们是 3 阶交错群：

　　最后，把能对根域

中的元素没有影响的排列写出来，它只有一个元素，即恒同置换构成：

　　不难发现，

中的元素乘积都落在各自的集合内，因而它们都是置换群，且满足：

　　这种由一个群的部分元素构成，且对乘积运算封闭的子集称为“子群”。

　　同时，三个域也满足关系：

　　这说明，在求解方程过程中，域在不断扩张，而群在不断缩小。且域都对应着一个群，群对方程根的排列变换恰好不改变域中的元素。

　　我们对于四次方程　

　　也构造几个域：系数域：　

　　基于系数域构造第一次扩张域：　

　　基于第一次扩张域构造第二次扩张域，

　　基于第二次扩张域构造第三次扩张域，由于三次方程的任意一个解都可以用来扩张

，所以这次扩张有三种不同的扩张方式，可以称为“分裂扩张”：

　　基于第三次扩张域构造根域，

是上面任意一个扩张域，都可以用来构造根域：　

　　这些域也对应着下面几个群，对

没有影响的群即为 4 阶对称群：

　　在

中对

没有影响的群为 4 阶交错群：

　　在

中，对

没有影响的群的元素如下：

　　在

中对

没有影响的群的元素如下：　

　　在

中对

没有影响的置换仅包含恒同置换：

　　这也验证了一个映射关系：根式解的每个根号嵌套对应着根的置换群的缩小，即：

　　这也说明了一个用根式求解方程的规律：根式的嵌套每增加一层，所形成的扩张域受到根的排列变化的影响越大。这种域的扩张链式结构称为“扩张塔”。

　　这也说明了，如果一个方程可以用系数的根式组合表示出解，那方程的根的对称群就必须有一串不断缩小的子群，每个子群对应着一个不变的域。

　　随着群的缩小，域不断扩张，根式的嵌套层数也逐渐增加，从而把系数域逐步扩张为根域，实现对方程的求解，这才是用根式求解代数方程的本质。

　　这里就能看出，在拉格朗日——阿贝尔——伽罗瓦时代之前，人们对代数方程的研究相当于只会用移项，配方，换元等工具，却没有研究根的排列触及用根式求解方程的本质，因而很难意识到，更不可能证明五次和五次以上方程没有求根公式。

正规子群约束

　　为了说明当 n ≥ 5 时，n 阶对称群

不存在这样的子群集合，需要对群的性质做些介绍。设 G 是一个对 n 个元素

的置换群。

　　设 H 是 G 的一个子群，且

是一个关于它们的代数式，当

在 H 中的元素作用下发生变化时，

的形式不变。

　　为了能让

在 G 中的作用下出现较少的变化，从而构造中间变量求解方程，就要求对于 G 中的任意元素 g 和 H 中的任意元素 h，有

　　这就要求对于任意的 g∈G，h∈H，都有

，这即是对 H 的约束条件，满足这样条件的子群称为“正规子群”，记为

。

　　利用正规子群可以构造商群：把集合 H 视为一个元素，把剩下的元素分类：如果两个元素

和

满足：

　　则它们归为一类。这样分类的结果，相当于把 G 分解成了|G|/|H|个不同的集合，这些集合称为集合 G 关于集合 H 的“商群”，记为 G/H。

　　商群中的元素都是集合，它们如何定义乘法呢？也很简单，即把两个集合中的元素两两相乘，得到的结果会有重复，把这些结果组成一个集合，恰好会构成商群中的另一个元素。

　　例如，设

，则：

　　不难发现，在商群 G/H 中，正规子群 H 相当于商群的单位元素。商群的每一个元素包含着一系列对

的置换，这些置换能确保

的取值是同一个。

　　这意味着商群的元素数量|G/H|决定了使用不同排列的

构造的方程的次数。群 G 的元素数量，正规子群 H 的元素数量，商群 G/H 的元素数量满足：　

　　不难验证，前面讨论的三次方程和四次方程构造的群链中，每一个域的对应的不变排列构成群都是前一个子域对应的不变排列的群的正规子群。

　　在三次方程中，有　

　　其中　

　　因而有

　　这就解释了三次方程内层根式为 2 次，外层根式为 3 次的原因。

　　在四次方程中，有

　　其中，

　　因而有

　　这就解释了四次方程的内层根式为 2 次，中间根式为 3 次，外层根式为两层 2 次根式的原因。

　　对于对称群

，如果存在一串正规子群链，最后的一个子群是一个只包含恒同置换的群

，且相邻两个正规子群的商群的元素数量不超过 n，则称

为“可解群”。如果一个 n 次方程可解，即要求

是可解群。

　　由此可见，求解方程即是寻找正规子群链，正规子群有个寻找方法是构造“换位子群”，集合 G 的“换位子”由如下形式的元素构成这样定义：

　　换位子的构造利用了置换群不满足交换率的性质。在魔方的求解公式中，就有大量的“换位子”操作，它可以让一部分变化，另一部分不变，从而达到在不破坏魔方已拼好的部分的前提下，改变未拼好部分的顶子和边子的位置和方向。

　　多个换位子的乘积不一定是换位子，但是把由一个或多个换位子相乘得到的元素放入群 H 构成一个集合：

　　它们对乘法封闭，因而是一个群，称为“换位子群”。

　　不难验证，对任意的 g∈G，有

　　把上式中的

换成多个换位子的乘积，得到的结果也可写成多个换位子的乘积。因而换位子的乘积构成的群 H 是一个正规子群。

　　从一个置换群

中选取所有的元素构造换位子群，得到

，再从

中选取所有的元素构造换位子群，得到

，依次类推……

　　这样操作下去，会得到一串换位子群链，且每个都是前一个的正规子群：　

　　但是，最后的结果，有可能得到某个 k，使得

，也有可能到了某个 k，

的换位子群就是它自身，无法再缩小。这种无法再缩小的群，即除了

之外再没有其它正规子群的群，称为“单群”。

　　最后能缩小到的群

，则足以可以表明

是“可解群”(相关的证明参见《近世代数》教材)。对于字母系数的 n 次方程，只有它的根的置换群

是可解群，它才有求根公式。

　　通过对 n 阶对称群

的分析发现，当 n ≥ 5 时，

是单群，这意味着

不存在逐步缩小到

的正规子群链，因而无法再对 n 次方程构造中间变量实现有效降次，即由系数组成的根式不可能得到 n 次方程的解。

分圆多项式的可解根置换群

　　前面讨论的方程全都是字母系数组成，因而方程的根之间没有任何联系，因而 n 次方程是否存在根式解取决于对称群是否可解。

　　然而，对于数字系数组成的方程，根之间可能会有联系，这些联系会让根的排列产生可解的群，从而实现对方程的降次甚至求解。

　　这里讨论一下一种特殊的数字系数方程——次数为素数的分圆多项式，它可以用来求解等分圆周问题(参见：高斯作出正 17 边形的依据是什么？)。

　　分圆多项式的基本形式为：

　　其中 p 是素数，它有一个平凡解，z = 1，我们只讨论它的复根，去掉这个平凡解所在的因子，分圆多项式可以写为：

　　这是一个 p - 1 次方程。我们指出，它的根的对称群存在一个子群可能存在着着可解链。利用复数中的棣莫弗定理，这些根可以写为三角函数的形式：　

　　为了凸显这些根之间的联系，我们设

　　它满足：

　　这样，分圆多项式的根可以写为

　　后面的讨论需要用到数论里关于“原根”的相关知识，如果不了解这个概念，建议先看这个回答高斯作出正 17 边形的依据是什么？的第 7 部分。

　　设 a 是 p 的一个原根，则

对 p 取余会遍历整数对 p 取余的余数

，这些余数论里称为“剩余类”。

　　对分圆多项式的非平凡解的有序排列

，构造一个特殊的映射 f 如下：

　　注意到

，且映射以后

的指数对 p 两两不同余，因而这个映射会把不同的根映射为不同的根，这意味着它是一个对非平凡解的置换。

　　对 f 做 p - 1 次迭代，并利用原根的性质，会发现这个置换每个元素的轨道都会对从 1 到 p-1 的位置遍历一次，且

。所以，如果把 f 看成一个置换，可以生成一个置换群：

　　这个置换群是对称群

的子群，但仅包含 16 个元素，且元素之间的乘法可交换。不难验证，如果有大于 1 的整数 d 整除 p - 1，则下面的群是 G 的正规子群：

　　且有

　　因而 G 是一个可解群，能够通过构造中间变量来实现对方程的降次。我们以 p = 17 为例，展示下面的分圆多项式的置换群：

　　并给出它的置换群的分解和求解中间变量的域的扩张。设

，并验证 6 是 17 的原根，令

，原始的群为：

　　取

中的部分元素构成子群

　　构造由

的和组成的中间变量

　　不难验证，σ在

中的元素的作用下引起的排列变化中不变，在

中的元素的作用下引起的排列变化中只会取两个值，因而可以构造二次方程求解σ。

　　取

中的部分元素构成子群

　　再构造由

的和组成的中间变量

　　不难验证，τ在

中的元素的作用下引起的排列变化中不变，在

中的元素的作用下引起的排列变化中只会取两个值，因而可以构造二次方程求解τ。

　　类似的，进一步缩小的正规子群为：

　　相应的中间变量为

，这样就把一个 16 次方程分解成了很多个可以用二次根式求解的二次方程，实现用根式嵌套对方程求解。

　　由于二次根式可以用“尺规作图”来构造，所以 17 阶分圆多项式的根在复数平面内的位置都能用尺规作出，从而实现对正 17 边形的构造(参见：高斯作出正 17 边形的依据是什么？)。

总结

　　综上所述，对于一元四次其及以下的代数方程，可以用配方，换元的思想来实现求根公式的导出。而换元中的中间变量相当于对方程的根的组合。

　　方程的根的排列构成一个集合，基于矩阵定义这个集合中的元素乘法，可以构造出一个对乘法封闭的群，称为置换群。

　　根的排列变化对于方程的系数完全没有影。在求根公式中，中间变量每加套一层根式，影响它的根的排列变化的就越多，把对置换群中对中间变量没有影响的元素取出组成子集，则构成置换群的正规子群。

　　方程的求根公式的根号嵌套对应着从系数域到根域的扩张链式结构，称为“扩张域”，同时也对应着从对称群到只包含恒同映射的群的正规子群链。正规子群链两相邻群的商群的元素个数决定了需要求解中间方程的次数。

　　只有 n 元对称群存在一个逐步缩小到只包含恒等映射的正规子群链，n 次方程才能有根式解，使用换位子群可以构造正规子群。

　　当 n ≥ 5 时，

的正规子群对应的商群元素数量不可能少于 n，这意味着无法对 n 次方程实现有效降次，这即是 5 次和 5 次以上方程没有根式解的根本原因。

　　对于数字系数的方程，可能因为根之间满足一些特殊联系，从而构造出

的可解子群，甚至用根式表示出它的根。

　　由于相关的知识太难，本人对能完全解释清楚相关的理论也不是很自信。如果有写得不清楚或者有错误的地方，请读者批评指正。

　　由于时间有限，关于群论的很多讨论也过于简略，如果读者有兴趣，请参见《近世代数》相关教材中的详细描述，并积极训练课后习题，以巩固相关的知识。

追更

　　非常感谢网友们热心的评论和对笔误的指正，帮助我完善本文。特别感谢一位网友反映，四次方程的最外层可以不是两层根式，而是像下面的下面的根式一样，通过开方而避免域的扩张：

　　我认真思考了一下这个问题，也查阅了相关的书籍，发现这反映了域的扩张和正规子群的生成可以不止一种方式。

　　前面提到对于四次方程，我们通过构造三次方程导出了三个解：

　　从这三个解中选出任意一个，都可以把四次方程分解为两个二次方程，再用二次方程的求根公式来求解，使得根号套了两层。

　　但是，如果我们把这三个解都充分利用上，可以只用一层根号实现求解，主要思路如下：

　　这三个式子右边可以用一元四次方程的系数和 y 来表示，对这三个式子开平方，我们即得到了三个关于

的线性约束，再与用方程系数表示的

联立，通过求解线性系统，即得到了用线性组合表示出来的最外层只开了一层根号的解。

　　这样求解说明正规子群链和域的扩张链找错了么？并不是，它体现出来的，是域的合并扩张和群的正规子群求交的思路。

　　我们可以把三次预解方程的根域

　　用另一种方式扩张：

　　这三个根域对应着置换群　

　　三个不同的正规子群：　

　　我们可以再把三个根域

合并为一个：　

　　然后不难验证，　

　　只有三个子群

共同的元素才能确保不变，因而

　　这也说明了，域的多次扩张，正规子群的构造，不一定只是单线，也可能出现分裂，并以群的求交和域的合并的方式实现殊途同归的求解。