如何证明 sin²θ+cos²θ=1?


这是一个有难度的问题,至少对于高中生来说很难理解

我们知道三角函数本质上就是指数函数,而指数函数的定义是

我们需要证明这是一个良定义的记号,也就是说:对任意

,级数

都是收敛的

证明:对任意给定

,设

,则有

,显然存在正整数

,使得

时恒有

(严格来说为什么指数函数的量级小于阶乘函数是需要证明的,但是这由高中数学的知识,简单放缩即可说明)

是收敛的级数,从而级数

绝对收敛,故收敛(绝对收敛蕴含收敛是柯西收敛准则的直接推论,如果你不熟悉,那么请自行补充一下基础知识)


这里可能有小伙伴产生了疑问:上面的

表示的是复数

的模长,并非绝对值呀,怎么还能说“绝对收敛”呢?其实这并没有任何问题,因为

定义:对于非空集合

,若

满足条件

1.

,且

2.对任意

均有

(三角不等式)

则称

两点间的距离

按照距离

成为度量空间,记为

定义:给定度量空间

,若

中的点列

满足:对任意

,存在正整数

,使得任意

都有

,则称

柯西列

定义:若度量空间

中每个柯西列都收敛,则称

完备的度量空间

定理(柯西收敛准则):在完备的度量空间中,点列 收敛,当且仅当 为柯西列。

显然

是完备的度量空间,因而成立柯西收敛准则:级数

收敛,当且仅当

,这样,由绝对收敛,结合三角不等式,就能推出收敛。


然后是三角函数的定义:

我们将要证明:

在此之前还需要做一些准备工作,我们要借助指数函数的一个性质:

这并非天经地义成立,不需证明的事实!

为此我们还需要一个引理:

定理:设 均为绝对收敛的复数级数, 的一个重排,则不论如何重排,均有级数 收敛且成立 ,特别地,此时成立

证明:较繁琐,可以参考任何一本数学分析教材,此处省略(主要因为学过数分的人都知道这个定理应该如何证,而没学过数分的同学,我即便在这里写了你们也没有耐心去看的,因为太啰嗦了)。

回到原题,前面已经证明了

是绝对收敛的复数级数,因而有

这其中化简时运用了二项式定理:对正整数

成立

,其中

为组合数。

现在距离我们的目标还差最后一个细节——

是多少?很简单,代入

即可(注:在指数函数的定义中,便约定了

好了,准备工作已经全部到位,现在来证明题主想要的恒等式吧

可见

这个大家无时无刻都在使用的恒等式一点也不平凡!并且其证明过程也是较为复杂的。因而,作为中学生,想要真正理解其证明过程,还是太困难了。

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